第十章：合成控制法

为单个处理单位构造加权反事实，掌握供体池、处理前拟合、安慰剂推断与现代扩展。

第十章：合成控制法

案例： 只有一个城市实施拥堵收费，没有任何单一城市足够相似。能否把多个未实施城市加权成一个可信的“合成城市”？

合成控制法（SCM）把研究重点从“选择一条回归线”转向“展示反事实由哪些供体单位组成，以及政策前是否真的拟合”。

学习目标

你应能：

写出合成控制权重与路径效应；
解释非负、和为 1 的权重为何限制外推；
依据制度与预处理信息选择供体池；
用时间、单位和结果安慰剂进行推断；
区分经典 SCM、增强 SCM、合成 DID 与矩阵补全。

1. 基本构造

设单位 1 在 $T_0+1$ 期开始接受处理，单位 $2,\ldots,J+1$ 从未处理。选择权重

w_j\ge0,\qquad \sum_{j=2}^{J+1}w_j=1,

使处理前特征与结果路径接近：

\widehat W = \arg\min_W \sum_{t\le T_0}v_t \left(Y_{1t}-\sum_{j=2}^{J+1}w_jY_{jt}\right)^2.

处理后路径效应：

\widehat\tau_{1t} =Y_{1t}-\sum_{j=2}^{J+1}\widehat w_jY_{jt}, \qquad t>T_0.

权重非负且和为 1，意味着反事实位于供体凸包内。若处理单位在处理前已经超出所有供体范围，经典 SCM 无法靠加权解决外推。

2. 供体池决定研究问题

供体单位必须：

在研究期内未接受同类处理；
不受处理单位的溢出；
结果测量和制度环境可比；
有足够长且无结构断裂的预处理期；
不因“加入后结果更显著”才被选择。

例如评估伦敦拥堵收费时，把同时规划类似政策、交通网络完全不同或受伦敦通勤溢出的城市放入供体池，会改变反事实含义。

3. 为什么处理前路径比协变量清单重要

在潜在因子模型中：

Y_{it}(0)=\delta_t+\theta_t'Z_i+\lambda_t'\mu_i+\varepsilon_{it}.

长预处理路径包含对未观测因子载荷 $\mu_i$ 的信息。好的处理前拟合因此是必要证据，但不是充分证明：短期过拟合、共同冲击变化和政策预期仍可能使处理后反事实失效。

4. 可运行案例：一个城市的减排政策

模拟中处理城市的未处理路径是三个供体的凸组合。代码只用处理前数据估计权重，再计算政策后差距与单位安慰剂的 RMSPE 比率。

Py

Python：合成控制权重与安慰剂比率

安慰剂 $p$ 值只有 9 个可能排名，分辨率很粗。这不是经典大样本 $p$ 值；它回答的是“若每个供体依次被假装处理，真实城市的异常程度排第几”。

5. 推断是一组设计比较

单位安慰剂

逐个把未处理单位当作处理单位，比较处理后异常程度。应排除处理前拟合极差的安慰剂，且预先说明阈值。

时间安慰剂

把处理时点提前到政策前。若提前期也出现“大效应”，可能有预趋势、结构断裂或过拟合。

结果安慰剂

选择理论上不应受政策影响、但测量机制类似的结果。

留一法

依次删除高权重供体。若结论完全依赖一个单位，必须解释该比较为何可信。

6. 常见扩展

方法	主要变化	适用问题
augmented SCM	用结果模型修正剩余预处理偏差	经典 SCM 拟合不完美
synthetic DID	结合单位权重和时间权重	多单位面板、共同趋势更灵活
generalized SCM	潜在因子/矩阵补全	多处理单位、较长面板
penalized SCM	对权重或外推加惩罚	供体多、过拟合风险

扩展可以改善拟合或精度，但不会自动修复受污染供体、政策预期、共同冲击或错误处理时点。

7. 诊断与报告

处理单位与时点为何特殊？
供体池如何在看结果前确定？
处理前路径有多长，RMSPE 多大？
权重是否集中，处理单位是否在凸包外？
有无其他政策或溢出污染供体？
单位、时间、结果与留一安慰剂是否一致？
效应是逐期路径、平均 ATT 还是累积效应？
推断分辨率是否受供体数量限制？

常见误区

只展示处理后大差距，不展示处理前拟合；
依据政策后结果删供体；
把回归合成的窄区间当作设计已被证明；
有一个高权重供体就称其为“因果匹配对象”；
将单个城市的效应直接推广为全国政策效应。

课堂任务

设计一个“城市禁塑令对垃圾量”的 SCM：

给出供体纳入与排除规则；
选择五个预处理预测量；
定义主 RMSPE 与安慰剂排序；
指出一个跨城市溢出；
解释如果所有权重集中在一个城市，应如何报告。

核心阅读

Abadie, Diamond & Hainmueller (2010), “Synthetic Control Methods for Comparative Case Studies”。
Abadie (2021), “Using Synthetic Controls: Feasibility, Data Requirements, and Methodological Aspects”。
Arkhangelsky et al. (2021), “Synthetic Difference-in-Differences”。
Ben-Michael, Feller & Rothstein (2021), “The Augmented Synthetic Control Method”。

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第九章：计数数据与受限因变量

按数据生成机制区分 Poisson、负二项、零膨胀、两部模型、删失、截断与选择模型。

第十一章：机器学习与因果推断

用正交化与交叉拟合连接高维预测、平均效应、异质性效应和政策学习。