第九章：计数数据与受限因变量

案例： 一年就诊次数有大量 0；工作时长也有大量 0。两个“很多零”的结果，为什么不应自动使用同一个模型？

模型选择应由零值和边界的生成机制决定，而不是由直方图长得像什么决定。

学习目标

你应能：

1. 区分计数、删失、截断、样本选择与角点解；
2. 解释 Poisson 条件均值和入射率比；
3. 诊断过度离散与结构零；
4. 判断何时使用负二项、hurdle、零膨胀、Tobit 或两部模型；
5. 把系数转换为条件均值和政策相关概率。

1. 先辨认数据机制

零工作时长可能是最优劳动供给的角点，不一定存在一个“负的潜在工作时长”被机械审查。此时 two-part 往往比 Tobit 的单一潜变量假设更透明。

2. Poisson 的核心是条件均值

对连续变量 $x_k$，$\beta_k$ 是对数条件均值的半弹性；$\exp(\beta_k)$ 是入射率比（IRR）。例如 $\beta=0.2$ 对应条件均值乘以 $e^{0.2}\approx1.22$。

完整 Poisson 分布要求

但 Poisson QMLE 在条件均值正确时，即使方差不等于均值也可一致；此时必须使用稳健方差。负二项模型进一步参数化过度离散。

3. 可运行案例：过度离散下的 Poisson QMLE

模拟中未观测但与协变量独立的 frailty 使方差远大于均值，条件均值仍正确。Poisson 系数接近真值，但模型式标准误会失真，实际分析应使用 sandwich/cluster-robust 推断。

“方差大于均值”提示 Poisson 分布不合适，却不自动否定其条件均值估计。应分别审查均值设定与推断。

4. 大量零：三种不同解释

普通计数过程

低事件率本来就会产生许多零；Poisson 可能已足够。

Hurdle / two-part

先建模 $P(Y>0\mid X)$，再建模 $E[Y\mid Y>0,X]$。适合“是否使用服务”与“使用多少”由不同决策控制的场景。

Zero-inflated

假设存在结构零类与普通计数类。它是强潜类别假设，需要实质机制支持；仅因为零很多而采用会过度解释。

非嵌套模型选择指标只能比较拟合，不能证明潜在机制。

5. Tobit、截断与选择

Tobit I 型模型：

它把参与概率与正值大小绑定在同一 $\beta$ 和误差分布上。若是否工作由托育可得性决定，而工作后的时长由工资决定，这一限制通常过强。

还要区分：

• 删失： 个体在样本中，但结果只知道落在某边界；
• 截断： 边界外个体完全不在样本中；
• 样本选择： 结果可见性由另一个相关过程决定。

三者的似然和目标人群都不同。

6. 暴露量与固定效应

计数常受观察时间影响。医院住院 10 天与 100 天的感染次数不能直接比较，应使用 offset：

面板 Poisson 固定效应可处理单位不变异质性，但仍需严格外生性；不要因模型名有“固定效应”就忽略反向因果。

7. 诊断与报告

• 结果是次数、率、金额还是潜变量？
• 观察窗口和暴露量是否一致？
• 零来自低发生率、结构状态还是参与决策？
• 均值—方差关系如何，尾部是否由极端值驱动？
• 报告 IRR 之外，是否给出典型人群预测均值？
• 是否使用稳健或聚类标准误？
• 模型比较是否包含机制解释、校准和样本外表现？
• 删失、截断或选择规则是否被准确记录？

常见误区

• 看到过度离散就认定 Poisson 系数一定不一致；
• 看到很多零就自动使用 zero-inflated 模型；
• 把 Tobit 系数直接解释为观测结果的边际效应；
• 忽略暴露时间；
• 对只有就业者可见的工资简单删除非就业者。

课堂任务

比较“医生就诊次数”和“年度慈善捐款”：

1. 为每个结果解释零值机制；
2. 判断是否需要 offset；
3. 选择 Poisson、two-part 或其他模型并说明理由；
4. 指出一个未观测异质性来源；
5. 把一个系数转成 IRR 或预测均值差。

核心阅读

• Cameron & Trivedi, Regression Analysis of Count Data。
• Gourieroux, Monfort & Trognon (1984), “Pseudo Maximum Likelihood Methods”。
• Santos Silva & Tenreyro (2006), “The Log of Gravity”。

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