第二章：线性回归与 OLS

案例： 工资对受教育年限的回归系数，是教育回报，还是教育与能力共同选择的结果？

OLS 最擅长回答“在指定线性比较下，$X$ 与 $Y$ 如何共同变化”。只有当研究设计支持时，这个线性投影才有因果含义。

学习目标

你应能：

1. 区分线性投影、条件均值与因果效应；
2. 用遗漏变量偏误公式判断偏误方向；
3. 用 FWL 定理解释“控制变量”做了什么；
4. 识别混淆变量、精度变量、坏控制和碰撞点；
5. 报告稳健标准误、置信区间与经济量级。

1. OLS 究竟估计什么

总体线性投影写为

$\beta_1$ 是在所有线性函数中使均方误差最小的系数。它自动具有描述意义；要解释为处理效应，还需类似

的条件可交换性，以及一致性、重叠和正确的比较范围。

2. 遗漏变量偏误：先判断方向

真实模型若为

却遗漏 $A$，简单回归系数满足

若能力 $A$ 同时提高受教育年限和工资，则两项都为正，教育系数向上偏。这个公式不能证明真实世界偏误大小，但能迫使研究者写出方向逻辑。

3. FWL：控制就是先剥离可预测部分

Frisch–Waugh–Lovell 定理给出三步：

1. 用控制变量 $X$ 回归 $D$，取得残差 $\widetilde D$；
2. 用 $X$ 回归 $Y$，取得残差 $\widetilde Y$；
3. 回归 $\widetilde Y$ 对 $\widetilde D$。

所得斜率与完整多元回归中的 $D$ 系数相同。因此 $\beta_1$ 来自“控制变量相同的人之间仍剩下的 $D$ 差异”。如果剩余差异很少，重叠差、标准误大，模型也会依赖外推。

4. 哪些变量该控制

例如评估培训对工资的总效应时，培训后取得的证书可能是机制，不应作为普通“控制变量”放入主回归。

5. 可运行案例：能力遗漏与 FWL

代码生成一个真实教育效应为 1.5 的世界。能力同时影响教育与工资；研究者先看朴素回归，再加入能力，并用 FWL 复核。

这里“加入能力后接近真值”是因为模拟中能力被完整测量且模型设定正确。真实数据里的测量误差、未观测动机和学校选择仍可能存在。

6. 推断与报告

最少报告：

• 系数、稳健或聚类标准误、95% 置信区间；
• $Y$、$D$ 的单位和变换；
• 样本量、缺失值处理与控制变量选择依据；
• 处理分配层级与误差相关层级；
• 经济量级，例如增加一年教育对应工资百分比变化，而不只给 $p$ 值。

异方差稳健标准误修正的是方差估计，不会修复遗漏变量、反向因果或测量误差。

7. 快速诊断

1. 支持集： 处理组和比较组在 $X$ 上是否重叠？
2. 函数形式： 连续变量是否需要非线性或分段关系？
3. 影响点： 结论是否由少数极端观测驱动？
4. 标准误： 处理是否按学校、企业或地区分配？
5. 控制顺序： 控制是否在处理前测量？
6. 敏感性： 未观测混淆需要多强才能解释结果？

常见误区

• 把高 $R^2$ 当作因果可信度；
• 逐步回归后只保留显著控制变量；
• 控制处理后结果，仍把系数称为总效应；
• 对数因变量的系数直接说成精确百分比，忽略近似条件；
• 只换标准误，不重新审查识别设计。

课堂任务

为“远程办公对生产率的影响”列出：

1. 两个处理前混淆变量；
2. 一个可能的坏控制；
3. 一个需要聚类的层级；
4. 一个能暴露函数形式问题的图；
5. 一句话说明 OLS 系数在什么假设下才是因果效应。

核心阅读

• Wooldridge, Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data。
• Angrist & Pischke, Mostly Harmless Econometrics。
• Cinelli, Ferwerda & Hazlett (2020), “Sensemakr: Sensitivity Analysis Tools for OLS”。

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