第六章：断点回归设计
用阈值附近的局部比较理解连续性、带宽、操纵检验、局部多项式与模糊断点。
第六章：断点回归设计
案例： 考试成绩达到 80 分即可获得奖学金。阈值两侧学生的后续入学率跳跃，能否解释为奖学金效应？
断点回归（RDD）依赖一个简单直觉：若其他决定因素在阈值处平滑变化，紧邻阈值两侧的结果跳跃可归因于处理资格的跳跃。
学习目标
你应能：
- 区分运行变量、阈值、资格与实际处理；
- 写出 sharp RDD 的局部目标参数；
- 用局部线性回归解释带宽的偏差—方差权衡；
- 诊断排序、操纵、协变量不连续与结果测量变化；
- 区分 sharp、fuzzy、kink 与 donut RDD。
1. 识别对象是阈值处的局部效应
令运行变量为 ，阈值为 ，sharp 设计中
若两个潜在结果的条件均值在 处连续，则
这估计阈值附近单位的效应。它不能自动推广到成绩 50 分或 100 分的学生。
2. 局部线性模型
在带宽 内常估计：
两侧允许不同斜率； 是阈值处截距跳跃。实践中常使用三角核，使距离阈值更近的观测权重更高。
| 带宽 | 优点 | 风险 |
|---|---|---|
| 小 | 更接近局部随机比较 | 样本少、方差大 |
| 大 | 精度更高 | 函数形式偏误、混入远端单位 |
应报告数据驱动带宽，同时展示合理替代带宽，而不是挑选最显著者。
3. 可运行案例：奖学金阈值
模拟中未处理结果随成绩平滑变化，奖学金在 80 分处产生真实 5 分提升。代码用三角核局部线性回归比较不同带宽。
Py
Python：局部线性 RDD 与带宽敏感性
带宽变化时估计会波动；这不是要求所有结果完全相同，而是检查结论是否由一个任意窗口驱动。
4. 设计有效性的证据链
运行变量能否被精确操纵
若学生知道评分规则并能把 79.9 调整到 80.0，阈值两侧可能不再可比。应结合：
- 运行变量密度与堆积；
- 制度上谁能看到、修改或复核分数；
- 阈值附近个体特征是否跳跃；
- 报名、缺失或样本进入是否在阈值处改变。
密度检验不显著不能证明无操纵；行政流程证据同样重要。
其他政策是否共享阈值
若 80 分同时决定奖学金、宿舍和导师资格，结果跳跃是政策束的效应，不能单独归因于现金奖学金。
结果是否按同一规则测量
阈值以上学生若被更频繁追踪，结果缺失本身也可能跳跃。
5. Sharp、fuzzy 与其他设计
| 设计 | 阈值改变什么 | 目标 |
|---|---|---|
| sharp RDD | 处理从 0 跳到 1 | 阈值处局部处理效应 |
| fuzzy RDD | 处理概率跳跃 | 阈值附近顺从者 LATE |
| regression kink | 处理强度斜率改变 | 阈值处边际效应 |
| donut RDD | 删除最靠近阈值观测 | 对 heaping/操纵的敏感性分析 |
fuzzy RDD 的 Wald 比率是“结果跳跃 / 处理概率跳跃”，因此继承 IV 的排除限制、单调性与弱第一阶段问题。
6. 推断与报告
最低报告：
- 阈值规则、运行变量精度与是否可操纵；
- 原始散点或分箱图，但估计不依赖视觉拟合；
- 主带宽、核函数、局部多项式阶数和偏差校正区间；
- 两侧样本量与有效观测；
- 密度、处理前协变量和伪阈值检查；
- 局部 estimand 与外推边界。
不要使用高阶全局多项式跨越整个运行变量范围；它容易在边界产生不稳定形状和虚假跳跃。
课堂任务
评估“年龄满 65 岁获得医疗福利”：
- 明确运行变量的时间单位；
- 列出同时在 65 岁发生的其他制度变化；
- 设计一个处理前协变量连续性检查；
- 说明为何 64 岁 11 个月与 65 岁 1 个月仍可能受季节影响；
- 判断估计能否推广到 40 岁人群。
核心阅读
- Cattaneo, Idrobo & Titiunik, A Practical Introduction to Regression Discontinuity Designs。
- Cattaneo, Jansson & Ma (2020), “Simple Local Polynomial Density Estimators”。
- Gelman & Imbens (2019), “Why High-Order Polynomials Should Not Be Used in Regression Discontinuity Designs”。