第八章：离散选择模型

从随机效用出发理解 Logit、Probit、多项选择、边际效应、IIA 与政策反事实。

案例： 学生选择汽车、公交、地铁还是自行车。票价下降会改变多少选择概率，而不是“选择增加几个单位”？

当结果是 0/1、类别或有序等级时，线性回归可能给出超出 $[0,1]$ 的概率。离散选择模型直接刻画选择概率，但结构解释仍依赖效用、信息和选择集合假设。

学习目标

你应能：

Y_i^*=X_i'\beta+\varepsilon_i,\qquad Y_i=\mathbf 1\{Y_i^*>0\}.

若 $\varepsilon$ 为 logistic 分布：

P(Y_i=1\mid X_i)=\Lambda(X_i'\beta) =\frac{\exp(X_i'\beta)}{1+\exp(X_i'\beta)}.

若误差为标准正态，则得到 Probit。两者通常产生相近概率，但误差方差归一化不同，原始系数不能直接横向比较。

连续变量 $x_k$ 的 Logit 边际效应：

\frac{\partial P(Y=1\mid X)}{\partial x_k} =\beta_k p(X)[1-p(X)].

它随 $X$ 改变。应报告：

例如 $\exp(\beta_k)=1.5$ 表示优势乘以 1.5，不表示概率增加 50% 或 50 个百分点。

模拟中入学取决于标准化成绩、是否获得助学金和通勤负担。代码用 Newton–Raphson 估计 Logit，并把成绩系数转成平均边际效应。

这个模拟把助学金设为外生。真实助学金通常按家庭收入、成绩或申请行为发放；若目标是助学金因果效应，还需随机化、RDD、IV 或可辩护的无混杂设计。

个体 $i$ 对选项 $j$ 的效用：

U_{ij}=V_{ij}+\varepsilon_{ij}, \qquad P_{ij}=\frac{\exp(V_{ij})}{\sum_k\exp(V_{ik})}.

$V_{ij}$ 可包含：

所有效用都加同一常数不会改变选择，因此必须设基准选项；误差尺度也需要归一化。

标准多项 Logit 的任意两项概率比

\frac{P_{ij}}{P_{ik}}=\exp(V_{ij}-V_{ik})

不依赖其他选项。若新增一条几乎相同的“蓝公交”线路，模型可能按比例从汽车和原公交吸走乘客，而现实中替代主要发生在两条公交之间。

可选扩展：

票价系数不自动是需求因果效应。运营商可能在高需求线路定高价，未测服务质量同时影响价格与选择。需要：

政策反事实还要说明新票价是否改变拥挤、班次和长期居住选择。

设计一个通勤方式选择模型：

第七章：匹配、倾向得分与加权

围绕无混杂与重叠条件，掌握匹配、倾向得分加权、平衡诊断和双重稳健估计。

第九章：计数数据与受限因变量

按数据生成机制区分 Poisson、负二项、零膨胀、两部模型、删失、截断与选择模型。