第十三章：前沿文献与现代统计案例（2023—2026）

现代机器学习可以生成很准确的点预测，但“预测值是多少”与“我们对预测有多确定”是两个问题。与此同时，在线实验、临床试验和平台监测经常一边收集数据一边查看结果，传统固定样本推断可能因反复窥视而失去错误率保证。

本章选择保形预测、分布漂移、选择后覆盖与随时有效推断四条近期文献线索，把概率论中的交换性、次序统计量、鞅和最大不等式连接到当前统计实践。材料来自截至 2026 年 8 月 1 日 的一手来源定向检索，不是系统综述；代码只做机制模拟。

学习目标

完成本章后，你应能够：

1. 用校准残差构造 split conformal 预测区间；
2. 准确解释“边际覆盖”而不是误写为“每个个体都有 90% 概率”；
3. 说明交换性、模型对称性和分布漂移如何影响覆盖保证；
4. 解释加权保形方法为何能缓解某些漂移、又为何不能应对任意变化；
5. 说明挑选重点对象后，边际覆盖为何不再等于选择条件覆盖；
6. 区分固定样本 p 值、随时有效 p 值、e-value 与置信序列；
7. 用 Ville 不等式说明为什么检验鞅允许可选停止。

案例一：给任意预测器加上有限样本预测区间

1. 问题设定

我们有训练数据、校准数据和一个新样本：

目标不是估计总体均值，而是为新的、尚未观察到的 $Y_{n+1}$ 构造预测集合 $C(X_{n+1})$，使：

Angelopoulos 与 Bates（2023）系统介绍了保形预测及分布无关不确定性量化。它的吸引力在于可以包裹线性回归、随机森林或神经网络，而不要求预测误差服从正态分布。

2. Split conformal 算法

把数据分为训练集 $I_{train}$ 与校准集 $I_{cal}$：

1. 在训练集拟合任意预测器 $\widehat\mu(x)$；
2. 对校准样本计算不合格分数$$S_i=|Y_i-\widehat\mu(X_i)|;$$
3. 令 $n_{cal}=|I_{cal}|$，取排序后第$$k=\left\lceil(n_{cal}+1)(1-\alpha)\right\rceil$$
   个分数为 $\widehat q$；
4. 对新样本输出$$C(x)=[\widehat\mu(x)-\widehat q,\widehat\mu(x)+\widehat q].$$

有限样本修正中的 $n_{cal}+1$ 很重要。若只调用软件默认的线性插值分位数，可能得到略低于目标的覆盖。

3. 为什么它有效

在训练模型固定以后，若校准分数与新样本分数可交换，新分数在 $n_{cal}+1$ 个分数中的秩近似均匀。选取足够高的次序统计量，就能控制新分数超过阈值的概率。

证明依赖的是秩与交换性，而不是 $\widehat\mu$ 正确。因此模型拟合很差时仍可能覆盖，但区间会很宽。有效覆盖不等于高效率。

4. “90% 覆盖”的准确解释

保证通常是对训练、校准和新样本的重复抽样取平均：

它一般不保证每一个协变量值都满足：

某些稀少亚组可能覆盖不足，另一些亚组覆盖过多。把边际保证写成“这个患者有 90% 概率落入区间”会隐藏模型、数据生成和重复抽样含义。

案例二：部署后数据漂移，交换性不再成立

1. 现实中的破坏方式

Barber、Candès、Ramdas 与 Tibshirani（2023）研究超越交换性的保形预测。部署场景常见：

• 时间趋势使近期数据比早期数据更相关；
• 传感器、医院或地区改变了协变量分布；
• 训练算法对最近观测加权，因而不再对数据顺序对称；
• 相邻时间点相关，不能任意置换。

此时，传统“新分数在所有分数中的秩均匀”论证不再直接成立。

2. 加权分位数的直觉

若研究者能用权重 $w_i$ 表示校准观测与目标新样本的相关程度，可以使用加权经验分布：

近期或更接近目标分布的观测获得较高权重，再从 $\widehat F_w$ 取分位数。论文同时设计随机化技术，处理拟合算法不对称的问题，并给出对分布漂移的稳健性界。

3. 不能过度承诺什么

权重必须与漂移结构有关。若未来出现校准样本从未覆盖的新机制、结果定义改变或标签测量失真，没有一个机械加权分位数可以凭空恢复保证。越偏离交换性，结论越依赖对漂移的建模与界定。

学生应把“不确定性量化”分为两层：

1. 给定假设下的数学保证；
2. 假设在部署环境中是否可信的监测证据。

4. 2026 年延伸：目标数据少时能否借用其他来源

Zhang 等（2026）在 Journal of Machine Learning Research 研究 transfer conformal：目标人群校准数据很少时，能否借用相关来源数据缩短区间。关键不是把所有来源直接合并，而是识别哪些来源对目标条件分布有信息，并允许来源与目标不交换。论文用条件 Kullback–Leibler 散度选择相关来源，并分析覆盖与区间宽度的非渐近性质。

这类方法把“更多数据”拆成两个问题：

1. 来源数据能否提高精度？
2. 来源与目标差异是否仍在方法保证覆盖的范围内？

若医院改变了结果定义、传感器出现系统偏差，或目标人群包含来源中不存在的亚组，迁移算法不能凭数据量恢复可比性。

案例三：选择了重点对象以后，边际覆盖还够吗

标准 conformal 保证针对一个随机测试点的边际覆盖。实践中却常先看风险分数，再挑出最高风险患者、最有希望药物或最异常账户。被选中的对象不是随机测试点；它们集中在模型最不稳定或噪声最大的区域时，原边际覆盖可能明显不足。

Jin 与 Ren（2025）在 Journal of the Royal Statistical Society: Series B 提出选择条件覆盖框架：给定对象被某个程序选中后，预测集合仍具有有限样本精确覆盖。框架允许多种对校准单位置换不变的选择规则，包括 top-$K$、优化型选择和按初步 conformal 集合选择。

教学上要区分：

选择条件方法不是免费升级：区间可能变宽，且保证依赖选择规则被完整纳入推断。临时改选对象或只报告窄区间，会再次引入选择偏误。

案例四：可以反复看数据而不破坏错误率吗

1. 固定样本检验的窥视问题

传统检验先固定样本量 $n$，再在末尾计算 p 值。如果研究者每天查看一次结果，并在第一次 $p<0.05$ 时停止，那么实际一类错误率可能超过 5%。原因是停止规则本身选择了看起来最极端的时点。

Ramdas、Grünwald、Vovk 与 Shafer（2023）综述了 safe anytime-valid inference（SAVI）。核心对象包括 e-process 与置信序列，它们在任意停止时刻仍保持有效。

2. 从赌博财富理解 e-value

设 $E_t\ge0$ 是在原假设成立时满足

的 e-value。较大的 $E_t$ 是反对 $H_0$ 的证据。若 $(M_t)$ 是从 $M_0=1$ 开始的非负检验鞅，那么 Ville 不等式给出：

把 $M_t$ 想成下注者财富：若原假设正确，任何公平或超公平策略的财富都不应经常膨胀到 $1/\alpha$。因此研究者可以持续监测，并在财富首次超过阈值时停止。

3. 置信序列

固定样本置信区间只保证某个预定 $n$ 的覆盖。置信序列 $(C_t)$ 则满足：

它允许在任意时刻报告区间，但通常比只针对一个固定时点优化的区间更宽。这是灵活停止的价格。

4. 使用边界

• “随时有效”不是“任何分析选择都有效”；临时更换终点、亚组或下注策略仍需被框架覆盖。
• e-value 不是效果大小；它衡量证据，不说明处理是否具有实质意义。
• 多个 e-value 可以按特定规则组合，但不能把普通 p 值随意相乘后称为 e-process。
• 置信序列仍依赖数据界、条件矩或模型假设。

浏览器实验：交换性与分布漂移下的保形覆盖率

训练与校准数据来自 $X\sim U[-2,2]$，结果为 $\sin(X)$ 加噪声。我们故意用二次多项式拟合。第一组测试数据与校准数据同分布；第二组来自 $X\sim U[2,4]$，进入训练数据很少覆盖的区域。传统 split conformal 的区间宽度不随位置改变，因此漂移后可能覆盖不足。

实验审计

• 把模型从二次多项式改为一次和五次，比较覆盖率与区间宽度；覆盖有效不代表宽度相同。
• 把校准样本从 250 降到 30，观察分位数更离散。
• 让噪声标准差随 $|X|$ 增加，检查固定宽度区间在哪些区域覆盖不足。
• 漂移测试不满足经典保证，因此低覆盖不是 conformal 定理“出错”，而是其假设被破坏。

浏览器实验二：总体覆盖达标，高风险组仍可能失准

结果均值恒为 0，但噪声随风险分数 $X$ 增大。全局 split conformal 用一条固定半宽区间达到约 90% 的边际覆盖；随后只选择风险最高的 10% 对象，检查其覆盖。

低覆盖不是 split conformal 定理失效：总体测试点与校准点仍同分布，边际目标确实接近 90%。问题在于选择规则把注意力集中到高噪声区域，改变了要保证的条件事件。

分层作业

本科生任务

用 100 次完整重复实验估计 split conformal 的平均覆盖率。每次都必须重新生成训练、校准和测试数据。分别报告总体与 top-10% 风险组覆盖，并解释为什么两者可以不同。

研究生任务

为连续监测的 A/B 测试写一份推断协议：声明原假设、最大或无限时域、下注/e-process 构造、停止阈值、效果大小区间和实际最小重要差异。再比较固定样本设计、alpha spending 与置信序列在样本效率和运营灵活性上的权衡。

一手文献与延伸阅读

1. Angelopoulos, A. N., & Bates, S. (2023). Conformal Prediction: A Gentle Introduction. Foundations and Trends in Machine Learning, 16(4), 494–591.
2. Barber, R. F., Candès, E. J., Ramdas, A., & Tibshirani, R. J. (2023). Conformal Prediction Beyond Exchangeability. Annals of Statistics, 51(2), 816–845. DOI: 10.1214/23-AOS2276.
3. Jin, Y., & Ren, Z. (2025). Confidence on the Focal: Conformal Prediction with Selection-Conditional Coverage. Journal of the Royal Statistical Society: Series B, 87(4), 1239–1259. DOI: 10.1093/jrsssb/qkaf016.
4. Zhang, C., Li, T., Xie, J., Kong, L., & Jiang, B. (2026). Transfer Conformal Predictive Inference for Regression. Journal of Machine Learning Research, 27(90), 1–68.
5. Ramdas, A., Grünwald, P., Vovk, V., & Shafer, G. (2023). Game-Theoretic Statistics and Safe Anytime-Valid Inference. Statistical Science, 38(4), 576–601.

建议与渐近理论、区间估计和Bootstrap对照学习：它们都在量化不确定性，但依赖的重复抽样结构和有效性目标并不相同。