第四章：常见分布族与建模机制

案例： 每天收到 2 次系统故障，应该使用二项分布、泊松分布，还是指数分布？

分布名称不是数据形状标签。应先解释随机机制，再检查该机制推出的支持集、均值—方差关系和尾部是否合理。

学习目标

你应能：

1. 依据数据生成机制选择常见分布；
2. 解释参数如何控制均值、方差与形状；
3. 连接伯努利、二项、几何、泊松与指数分布；
4. 使用正态、伽马与贝塔分布建模；
5. 判断近似何时有效、何时失败。

1. 离散分布：计数什么

参数化必须说明。例如几何分布可以从 0 或 1 开始；负二项也有多种定义。

2. 连续分布：范围和机制

正态分布允许负值，因此不适合直接描述严格非负且强右偏的小额损失。对数变换、伽马或对数正态可能更符合机制。

3. 泊松过程连接计数与等待

若事件按速率 $\lambda$ 的齐次泊松过程发生：

• 长度 $t$ 区间的事件数 $N(t)\sim Poisson(\lambda t)$；
• 相邻事件等待时间 $T\sim Exponential(\lambda)$；
• 指数分布具有无记忆性：$$P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t).$$

真实系统若有高峰时段、自激效应或维修后抑制，齐次独立增量假设会失败。

4. 二项到泊松的稀有事件近似

当 $n$ 大、$p$ 小且 $\lambda=np$ 适中时：

近似保留均值 $\lambda$，方差从 $np(1-p)$ 近似为 $\lambda$。当 $p$ 不小或成功次数接近上界 $n$ 时，泊松的无上界支持会造成明显误差。

5. 可运行案例：200 次独立机会中的稀有故障

令 $n=200,p=0.01$，因此 $\lambda=2$。代码比较二项与泊松 PMF。

把 $p$ 改为 0.2 并保持 $n=10$、$\lambda=2$：均值仍相同，但近似会变差，因为事件不再稀有。

6. 正态分布为什么常见

由位置 $\mu$ 和尺度 $\sigma$ 决定。标准化：

正态性可能来自：

• 模型直接假设；
• 多个近似独立小冲击相加；
• 样本均值的 CLT 近似。

这三种理由不同。数据直方图近似钟形不能证明误差独立，也不能保证尾部风险估计正确。

7. 共轭关系是计算便利，不是真理

• 二项似然 + Beta 先验 → Beta 后验；
• 泊松似然 + Gamma 先验 → Gamma 后验；
• 正态均值 + 正态先验 → 正态后验。

共轭先验带来闭式计算，但先验选择仍需实质依据和敏感性分析。

8. 选择分布的审计表

1. 支持集与数据范围匹配吗？
2. 随机对象是次数、等待时间、比例还是连续测量？
3. 次数或暴露期固定吗？
4. 独立、同质概率或恒定速率合理吗？
5. 均值—方差关系与尾部是否匹配？
6. 零值、截断、删失或混合人群是否另有机制？
7. 参数化与软件文档一致吗？

课堂任务

为下列对象各选一个起始模型，并写出失败方式：

1. 100 封邮件中的垃圾邮件数；
2. 下一次客户来电的等待时间；
3. 一次理赔金额；
4. 某候选人的支持率；
5. 一天内社交平台转发数。

核心阅读

• Ross, A First Course in Probability，常见分布章节。
• Johnson, Kemp & Kotz, Univariate Discrete Distributions。
• Gelman et al., Bayesian Data Analysis，概率分布与共轭模型章节。

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