第一章：概率论基础

案例： 一项检测灵敏度 95%、特异度 90%。检测阳性的人真正患病概率是 95% 吗？

概率不是直觉强弱，而是在清楚样本空间与信息条件下，对事件不确定性的量化。

学习目标

你应能：

1. 定义样本空间、事件与概率；
2. 使用补集、加法公式和计数法；
3. 区分条件概率与独立性；
4. 用全概率公式拆分路径；
5. 用贝叶斯公式更新概率并解释基准率。

1. 样本空间先于公式

随机试验所有可能基本结果组成样本空间 $\Omega$，事件 $A\subseteq\Omega$。概率测度满足：

1. $P(A)\ge0$；
2. $P(\Omega)=1$；
3. 对两两互斥的 $A_1,A_2,\ldots$，$$P\left(\bigcup_iA_i\right)=\sum_iP(A_i).$$

立即得到：

在等可能有限样本空间中才可使用 $P(A)=|A|/|\Omega|$。现实中的医学状态、金融损失或天气路径通常不是等可能计数问题。

2. 条件概率改变了参照总体

乘法公式：

条件概率 $P(A\mid B)$ 与反向条件概率 $P(B\mid A)$ 通常不同。检测灵敏度是“患病条件下阳性”，病后概率是“阳性条件下患病”。

3. 独立不是互斥

若 $A,B$ 互斥且概率都为正，则知道 $A$ 发生会排除 $B$，所以它们不独立。独立表示获知一个事件不改变另一个事件的概率。

两两独立也不保证相互独立。研究多个变量时必须说明是哪一级独立性。

4. 全概率与贝叶斯公式

若 $B_1,\ldots,B_k$ 构成互斥且完备的划分：

贝叶斯公式：

它把先验基准率与新证据的似然结合。证据很准确时，低基准率仍可能让阳性结果中出现大量假阳性。

5. 可运行案例：低患病率下的阳性预测值

设患病率 1%、灵敏度 95%、特异度 90%。代码先算精确后验，再模拟 300,000 人。

“95% 灵敏度”不能写成“阳性后有 95% 患病概率”。在这组参数下，大量健康人中的 10% 假阳性会超过少量患者中的真阳性。

6. 树形思维

处理条件概率问题时先画路径：

每条完整路径概率相乘，互斥路径概率相加。这样比直接套贝叶斯公式更不容易把条件方向颠倒。

7. 常见反直觉

• Monty Hall： 主持人开门不是随机缺失，而是依赖奖品位置的信息机制。
• 生日问题： 比较的是任意一对相同，不是某人与指定日期相同。
• 辛普森悖论： 分层内关系与合并关系可相反，原因是组别构成变化。
• 重复检测： 两次误差若受同一仪器或生理因素影响，不能简单按独立概率相乘。

8. 诊断清单

1. 样本空间是否完整且互斥？
2. “给定”信息改变了哪个参照总体？
3. 是否把 $P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 混淆？
4. 独立性是制度假设、模型假设还是可检验证据？
5. 基准率来自目标人群还是另一个样本？
6. 数据缺失或选择机制是否携带信息？

课堂任务

机场安检报警率为：危险品携带者中 98% 报警，普通旅客中 3% 报警；携带率为万分之一。

1. 画概率树；
2. 计算报警后的携带概率；
3. 把普通旅客误报率降到 0.3% 后重算；
4. 说明为何连续两台机器的结果未必独立。

核心阅读

• Blitzstein & Hwang, Introduction to Probability（含开放课程）。
• Ross, A First Course in Probability，条件概率与独立性章节。
• Bayes’ theorem 的现代解释可对照 Wasserman, All of Statistics，第 8 章。

上一章：课程导论｜下一章：随机变量。