第五章：收敛与渐近理论

连接大数定律、中心极限定理、Slutsky 定理与 Delta 方法，并识别重尾和依赖下的失败。

案例： 样本量越来越大时，样本均值一定稳定且近似正态吗？柯西分布告诉我们：不一定。

渐近理论描述一列随机变量在样本量增加时的行为。它提供近似，不会让有限样本自动变成理想模型。

学习目标

你应能：

设随机变量序列 $X_n$ 与 $X$ ：

常见关系：

L^2\Rightarrow p\Rightarrow d, \qquad a.s.\Rightarrow p.

反向一般不成立。若极限是常数，依分布收敛到该常数等价于依概率收敛。

若 $X_1,\ldots,X_n$ iid 且 $E|X_i|<\infty$ ，弱大数定律给出：

\bar X_n\xrightarrow{p}\mu.

它说明一致性，不给出收敛速度或有限样本误差分布。独立同分布只是经典版本；更一般结果可以允许弱依赖或异质性，但要替换相应条件。

若 iid、 $E[X_i]=\mu$ 、 $0<\sigma^2<\infty$ ，则

\sqrt n\frac{\bar X_n-\mu}{\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1).

因此

\bar X_n\approx N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).

“ $n\ge30$ ”不是定理。偏度、重尾、离群值、相关与稀有事件会改变近似速度。

若 $X_n\xrightarrow{d}X$ 、 $Y_n\xrightarrow{p}c$ ，则：

X_n+Y_n\xrightarrow{d}X+c,\qquad X_nY_n\xrightarrow{d}cX,

且 $c\ne0$ 时 $X_n/Y_n\xrightarrow{d}X/c$ 。

这允许用一致估计的标准差 $S_n$ 替换未知 $\sigma$ ，从不可行标准化走向可行统计量。

若

\sqrt n(\widehat\theta-\theta)\xrightarrow{d}N(0,V)

且 $g$ 在 $\theta$ 可微，则

\sqrt n\{g(\widehat\theta)-g(\theta)\} \xrightarrow{d}N(0,[g'(\theta)]^2V).

例如对 $g(\theta)=\log\theta$ ，渐近方差乘以 $1/\theta^2$ 。当 $g'(\theta)=0$ 、参数在边界或函数不光滑时，一阶 Delta 方法可能失效。

指数分布有有限均值和方差，标准化样本均值逐渐接近正态。标准柯西分布没有有限均值；不同样本量下样本均值仍是柯西分布，不会向常数集中。

指数样本的标准化分位数逐渐靠近正态参考值；柯西样本均值的宽度没有按 $1/\sqrt n$ 收缩。样本量大不能弥补不存在的矩。

对 Bernoulli 样本比例 $\widehat p$ ：

第四章：常见分布族与建模机制

按重复次数、事件率、等待时间和比例机制选择常见离散与连续分布。

第六章：抽样分布

把统计量视为随机变量，连接样本均值、样本方差、卡方、t、F 与次序统计量。