第三章：期望、方差与条件矩

案例： 保险赔付的总体波动，来自每类客户内部的随机性，还是高低风险客户之间的差异？

矩把完整分布压缩成可解释的数值。压缩会丢失信息，因此应知道每个矩回答什么、不能回答什么。

学习目标

你应能：

1. 计算离散与连续随机变量的期望；
2. 使用期望的线性性与 LOTUS；
3. 分解方差、协方差和相关系数；
4. 运用条件期望、全期望与全方差；
5. 说明矩母函数何时存在、何时不能使用。

1. 期望是概率加权平均

离散情形：

连续情形：

这就是 LOTUS：计算 $g(X)$ 的期望不必先求 $g(X)$ 的分布。存在性要求相应绝对矩有限；柯西分布的“对称中心”不能当作有限期望。

期望的线性性不要求独立：

独立性在计算乘积期望 $E[XY]=E[X]E[Y]$ 时才关键。

2. 方差度量围绕均值的平方波动

对和：

只有协方差为 0 时方差才直接相加。独立且二阶矩存在会推出零协方差，反向一般不成立。

3. 协方差与相关

相关系数无量纲、位于 $[-1,1]$，但只度量线性关联。若 $X$ 关于 0 对称且 $Y=X^2$，常有 $\operatorname{Cov}(X,Y)=0$，二者却完全依赖。

4. 条件期望是随机变量

是 $X$ 的函数：观察到不同 $X$ 会得到不同的条件均值。它是均方误差下预测 $Y$ 的最佳 $X$-可测函数。

塔式法则：

全方差公式：

第一项是组内波动，第二项是组间均值差异。

5. 可运行案例：保险赔付的组内与组间方差

设 20% 客户属于高风险组。低风险与高风险客户的赔付分别服从均值为 1,000 和 5,000 的指数分布。代码核对全期望和全方差。

若只报告总体方差，会看不到风险组构成。反过来，即使组间差异很大，每个组内仍可能有大量不可预测波动。

6. 高阶矩与矩母函数

原点矩 $E[X^k]$ 与中心矩 $E[(X-\mu)^k]$ 描述形状：

• 三阶标准化矩对应偏度；
• 四阶标准化矩与尾部/峰度有关。

矩母函数：

若它在 $t=0$ 的邻域存在，可通过求导得到各阶矩，并在常见条件下唯一确定分布。对数矩母函数 $K_X(t)=\log M_X(t)$ 的导数给出累积量。

但对数正态等分布的 MGF 在正 $t$ 处可能发散。不要因为形式上能写 $E[e^{tX}]$ 就默认有限。

7. 不等式提供分布无关界

Markov 不等式（$X\ge0$）：

Chebyshev 不等式：

界通常保守，但只依赖少量矩。它们是大数定律、集中不等式和风险控制的入口。

8. 诊断清单

• 所需矩是否存在？
• 单位是否正确：方差单位是原单位平方？
• 是否把独立性当作期望线性性的条件？
• 聚合方差是否漏掉协方差项？
• 相关接近 0 是否仍可能存在非线性关系？
• 总体异质性是否应使用条件矩分解？

课堂任务

某学校学生成绩来自两类课程：

• A 类占 70%，均值 75、方差 64；
• B 类占 30%，均值 85、方差 100。

计算总体均值、组内方差、组间方差与总体方差，并解释“总体方差大”有多少来自课程构成。

核心阅读

• Ross, A First Course in Probability，期望与条件期望章节。
• Casella & Berger, Statistical Inference，第 1–2 章。
• Grimmett & Stirzaker, Probability and Random Processes，条件期望章节。

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