第二章：随机变量与分布

案例： 若位置 $X$ 在 $[-1,1]$ 上均匀，距离平方 $Y=X^2$ 仍然均匀吗？

随机变量是从样本空间到数轴的函数。分布描述它把概率质量放在数轴何处。

学习目标

你应能：

1. 区分离散、连续与混合随机变量；
2. 在 PMF、PDF 与 CDF 之间转换；
3. 计算分位数与尾概率；
4. 使用联合、边际和条件分布；
5. 对单调与多对一变换求分布。

1. CDF 是统一语言

任何 CDF 都满足：

• 单调不减；
• 右连续；
• $F_X(-\infty)=0,\;F_X(\infty)=1$。

离散变量用概率质量函数

绝对连续变量用密度

密度值可以大于 1；只有积分后的概率必须位于 $[0,1]$。连续变量在单点的概率为 0，不表示该数值“不可能出现”。

2. 分位数反转 CDF

广义 $q$ 分位数：

中位数是 $Q(0.5)$。离散分布可能没有满足 $F(x)=q$ 的精确点，因此使用“首次达到”定义。

尾概率最好用补集：

但离散情形要小心 $P(X\ge x)$ 与 $P(X>x)$ 相差 $P(X=x)$。

3. 联合、边际与条件分布

联合 CDF：

连续情形中，从联合密度积分得到边际：

条件密度：

若

则 $X,Y$ 独立。零协方差比独立弱，除特殊分布族外不能互换。

4. 变量变换

若 $Y=g(X)$ 严格单调、可微：

绝对值来自长度伸缩。若变换不是一一对应，要把所有原像贡献相加。

对 $Y=X^2$，一个 $y>0$ 通常对应 $x=\sqrt y$ 与 $x=-\sqrt y$ 两个原像，不能只取一个分支。

5. 可运行案例：均匀变量平方后为何不均匀

若 $X\sim U[-1,1]$，则对 $0\le y\le1$：

因此 $f_Y(y)=1/(2\sqrt y)$，概率更集中在 0 附近。

直方图的高峰不是概率在 0 点堆积；$P(Y=0)=0$。它表示靠近 0 的短区间拥有较高概率密度。

6. 变换题的稳定步骤

1. 写出 $Y$ 的支持集；
2. 用事件 $g(X)\le y$ 求 CDF；
3. 分段处理不同 $y$；
4. 若可微，再求导得到 PDF；
5. 检查非负与积分为 1；
6. 用模拟检查分位数或矩。

CDF 法对多对一、非单调和离散—连续混合变换最稳健。

7. 常见误区

• 把 PDF 的高度当作单点概率；
• 忘记支持集，导致密度积分不为 1；
• 变量变换漏掉雅可比绝对值；
• 多对一映射只保留一个根；
• 用零相关推断独立；
• 对离散变量把 $>$ 与 $\ge$ 混用。

课堂任务

令 $X\sim U(0,1)$，分别研究：

1. $Y=-\log X$ 的 CDF 与 PDF；
2. $Z=\min(X,1-X)$ 的支持集；
3. 用模拟检查 $Y$ 是否服从指数分布；
4. 解释 $X$ 与 $X^2$ 为何显然不独立。

核心阅读

• Casella & Berger, Statistical Inference，随机变量与变换章节。
• Ross, A First Course in Probability，随机变量章节。
• Blitzstein & Hwang, Stat 110 Notes。

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