第六章：抽样分布

把统计量视为随机变量，连接样本均值、样本方差、卡方、t、F 与次序统计量。

案例： 从正态总体抽 12 个观测。未知总体方差时，为什么均值区间要用 t 分布而不是标准正态？

统计量在看到数据后是一个数字，在重复抽样前是随机变量。它的分布决定标准误、置信区间与检验临界值。

学习目标

你应能：

一次样本不能直接展示抽样分布；Bootstrap 用经验分布近似重复抽样机制，详见第十二章。

若 $X_1,\ldots,X_n$ iid， $E[X_i]=\mu$ 、 $\operatorname{Var}(X_i)=\sigma^2$ ，则：

E[\bar X]=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.

标准误为 $\sigma/\sqrt n$ 。若观测相关：

\operatorname{Var}(\bar X) =\frac1{n^2}\left( \sum_i\operatorname{Var}(X_i) +2\sum_{i<j}\operatorname{Cov}(X_i,X_j) \right),

不能仍机械使用 $\sigma^2/n$ 。

若 $X_i\overset{iid}{\sim}N(\mu,\sigma^2)$ ，定义

S^2=\frac1{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2.

则：

\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1},

且 $\bar X$ 与 $S^2$ 独立。因此

T=\frac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}.

这里的独立性是正态分布的特殊性质，不对任意总体精确成立。

残差满足：

\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)=0.

知道前 $n-1$ 个残差后，最后一个由约束决定，只有 $n-1$ 个自由方向。除以 $n-1$ 使 $S^2$ 对 $\sigma^2$ 无偏：

E[S^2]=\sigma^2.

无偏不代表 MSE 最小；分母选择取决于估计目标。

它们连接均值、方差比、ANOVA 与回归检验。自由度越大，t 越接近标准正态；小样本时厚尾反映估计 $\sigma$ 的额外不确定性。

对 $n=12$ 的正态样本，使用估计标准差后的枢轴量服从 $t_{11}$ 。代码比较错误使用 1.96 与正确使用约 2.201 的覆盖率。

t 区间的精确覆盖依赖 iid 正态样本。偏态、小样本、聚类或选择性缺失下，应重新审查抽样机制，而不只是换一个临界值。

排序后：

X_{(1)}\le\cdots\le X_{(n)}.

对连续 CDF $F$ ，最大值满足：

P(X_{(n)}\le x)=F(x)^n.

第 $k$ 个次序统计量连接样本分位数、容忍区间与保形预测中的校准秩。极值的分布随样本量显著移动，不能把样本最大值当总体上界。

对 $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ ：

第五章：收敛与渐近理论

连接大数定律、中心极限定理、Slutsky 定理与 Delta 方法，并识别重尾和依赖下的失败。

第七章：区间估计

从枢轴量、t 区间和 Wilson 区间进入渐近、似然与 Bootstrap 置信区间，并检查重复抽样覆盖率。