第七章：期权定价理论
第七章：期权定价理论
期权定价是资产定价中最清楚展示“无套利”力量的部分。股票的预期收益很难只靠无套利确定，但期权在理想条件下可以通过标的资产和无风险资产动态复制，因此价格受到非常强的约束。
本章以“复制相同现金流”作为主线。风险中性概率是完成无套利定价的工具，不是对真实上涨概率的预测。
本章路线
| 课次 | 核心问题 |
|---|---|
| 7.1 二叉树 | 怎样用股票与借贷复制期权？ |
| 7.2 Black–Scholes | 连续动态对冲需要哪些理想化假设？ |
| 7.3 Greeks | 价格对标的、波动率和时间怎样局部变化？ |
| 7.4 隐含波动率 | 市场期权价格隐含了什么，而没有告诉什么？ |
| 7.5—7.8 扩展 | 提前行权、路径依赖、随机波动与跳跃怎样破坏基础模型？ |
学习成果
通过本章学习，你将掌握：
- 期权的基本概念和损益结构
- 二叉树期权定价方法
- Black-Scholes公式的推导和应用
- 期权的希腊字母及其在对冲中的应用
- 各类期权的定价技巧
读完本章后，你应能完成以下任务：
- 画出看涨、看跌、保护性看跌和备兑看涨的到期损益。
- 用单期二叉树构造复制组合并计算风险中性概率。
- 解释 Black-Scholes 公式背后的动态复制思想，而不只是代入公式。
- 用 Delta、Gamma、Vega、Theta、Rho 描述期权组合的主要风险。
- 说明隐含波动率微笑为什么暴露了 Black-Scholes 常数波动率假设的局限。
金融与经济动机
期权本质上是在不同状态下重新分配现金流：看跌期权在下跌状态支付，像保险；看涨期权保留上涨收益、限制亏损为权利金。正因为它们的支付高度非线性，期权被广泛用于风险管理、投机、结构性产品和市场预期提取。
| 实务问题 | 期权定价工具 |
|---|---|
| 如何给标准欧式期权定价 | 二叉树、Black-Scholes |
| 如何控制期权组合风险 | 希腊字母、动态对冲 |
| 市场预期未来波动多少 | 隐含波动率、VIX |
| 期权可提前行权怎么办 | 美式期权数值方法 |
| 波动率不是常数怎么办 | 随机波动率、跳跃扩散 |
模型设置与直觉
期权定价的核心思想是复制：如果一个期权的未来支付可以由标的资产和无风险资产组成的组合复制，那么期权价格必须等于复制组合成本。
在二叉树中，设股票今天价格为 ，下一期上涨到 或下跌到 。看涨期权对应支付 和 。复制组合持有 股股票和 元无风险资产，使得：
解出 和 后，期权价格为：
中文直觉：我们没有问投资者风险偏好，也没有预测股票真实上涨概率；只要复制组合和期权在每个状态支付相同，它们今天就必须同价。
关键定义与定理
看涨期权与看跌期权
看涨期权给持有人以执行价 买入标的资产的权利；看跌期权给持有人以执行价 卖出标的资产的权利。
中文解释：权利不是义务，因此期权价值不会为负。
风险中性定价
在无套利市场中，可以用风险中性概率 折现期望支付：
中文解释：风险中性概率不是现实概率，而是把风险补偿吸收到概率中后，用无风险利率折现的定价工具。
Black-Scholes 公式
在连续交易、无交易成本、几何布朗运动和常数波动率等假设下，欧式看涨期权价格为：
中文解释：公式背后的经济含义是连续动态对冲，而不是“正态分布套公式”。
Put-Call Parity
欧式看涨和看跌期权满足：
中文解释：左边是看涨加无风险债券，右边是看跌加股票；到期支付完全相同，因此今天同价。
希腊字母
希腊字母衡量期权价格对不同变量的敏感性。
| 希腊字母 | 含义 |
|---|---|
| Delta | 标的价格变化对期权价格的影响 |
| Gamma | Delta 对标的价格的敏感性 |
| Vega | 波动率变化对期权价格的影响 |
| Theta | 时间流逝对期权价格的影响 |
| Rho | 利率变化对期权价格的影响 |
例子：单期二叉树定价
股票今天 100，一期后上涨到 120 或下跌到 90。无风险利率为 5%，执行价为 100 的看涨期权到期支付为：
风险中性概率满足：
期权价格为：
这里 0.5 不是股票真实上涨概率，而是能使股票期望收益等于无风险利率的风险中性概率。
可运行例题：风险中性定价与复制必须一致
同一个单期期权既可以用风险中性期望，也可以用 delta 与借贷复制。两条路径若对不上，通常是现金流时点或贴现写错。
Python：单期看涨期权的两种定价
bond_payoff 为负表示借款。真实市场的离散对冲、跳跃、交易成本和波动率变化会让复制出现误差；模型价格是给定假设下的无套利基准。
学习顺序建议
| 小节 | 先抓住的问题 | 需要特别留意 |
|---|---|---|
| 7.1 二叉树 | 复制组合如何给期权定价 | Delta、风险中性概率 |
| 7.2 Black-Scholes | 连续时间复制如何得到闭式公式 | 假设条件、波动率 |
| 7.3 希腊字母 | 期权风险如何分解 | 动态对冲、Gamma 风险 |
| 7.4 隐含波动率 | 如何从市场价格反推波动率 | 微笑、偏斜、期限结构 |
| 7.5 奇异期权 | 路径依赖和复杂支付如何处理 | 蒙特卡洛、障碍、亚式 |
| 7.6 美式期权 | 提前行权价值如何定价 | 行权边界、LSM |
| 7.7 随机波动率 | 波动率随机变化如何建模 | Heston、SABR、校准 |
| 7.8 跳跃扩散 | 尾部跳跃如何进入价格 | 厚尾、短期期权 |
常见错误与考试陷阱
- 把风险中性概率当成真实概率：它是定价概率，不是预测概率。
- 忽略期权价格边界：若价格违反上下界或 put-call parity，说明存在套利。
- 认为 Black-Scholes 只需要代公式：公式成立依赖动态复制和强假设。
- 混淆 Delta 对冲和无风险：Delta 对冲只在小幅、短时变化下近似中性，Gamma 和波动率风险仍存在。
- 把隐含波动率当成未来实现波动率的无偏预测：隐含波动率包含风险溢价和供需压力。
自测题
- 为什么期权价格可以在不使用真实上涨概率的情况下确定？
- 写出 put-call parity，并解释两边组合为什么到期支付相同。
- 一个看涨期权 Delta 为 0.6，Gamma 为正。标的上涨后，Delta 通常如何变化？
- 为什么虚值看跌期权的隐含波动率常常高于平值期权？
答案指引
- 若能用股票和无风险资产复制期权支付，无套利要求两者今天价格相同；真实概率影响股票预期收益，但不影响复制关系。
- 。到期时左边支付 ，右边支付 ，两者都等于 。
- Gamma 为正表示标的价格上升时 Delta 上升，看涨期权会变得更像股票。
- 投资者愿意为下跌保护支付保险溢价，且股票指数收益具有负偏和跳跃风险，导致虚值看跌需求和价格较高。
小结与过渡
期权定价展示了无套利、复制和状态现金流的强大约束。下一章转向固定收益证券：债券现金流更线性，但利率期限结构、久期、凸性和信用风险会带来另一套定价与风险管理问题。