第三章：均值-方差分析
第三章：均值-方差分析
第二章从效用函数解释风险厌恶。本章把问题简化成投资者最常用的一张图：横轴是风险，纵轴是预期收益。均值-方差分析的核心不是“方差越低越好”，而是在给定收益下尽量降低风险，或在给定风险下尽量提高收益。
马科维茨框架看似数学化，实际直觉很朴素：单个资产的风险不等于组合风险。只要资产之间不是完全同涨同跌，组合就可能通过分散化降低波动。后面的 CAPM、市场组合、资本市场线和许多量化组合优化方法，都建立在本章语言之上。
本章路线
| 课次 | 核心问题 |
|---|---|
| 3.1 组合风险 | 为什么协方差决定分散化空间？ |
| 3.2 两资产 | 权重和相关系数怎样改变风险？ |
| 3.3 有效前沿 | 给定风险时，哪些组合拥有最高期望收益？ |
| 3.4 无风险资产 | 资本配置线为什么是直线？ |
| 3.5 切点组合 | 风险偏好与最优风险组合怎样分离？ |
| 3.6 实践边界 | 估计误差、约束和交易成本怎样改变权重？ |
学习成果
通过本章学习，你将掌握：
- 马科维茨投资组合理论的数学基础
- 如何计算和绘制有效前沿
- 无风险资产对投资决策的影响
- 分离定理及其经济含义
- 实际资产配置的方法和技巧
读完本章后，你应能完成以下任务：
- 用权重、预期收益向量和协方差矩阵写出组合收益与组合方差。
- 解释为什么低相关资产能够降低组合风险。
- 在两资产案例中计算组合收益率、方差和最小方差权重。
- 区分可行集、有效前沿、最小方差组合和切点组合。
- 说明无风险资产如何把弯曲的有效前沿变成资本配置线。
金融与经济动机
实际投资者很少只持有一只资产。养老金、基金、家族办公室和个人账户都在做同一个决策：如何把财富分配到股票、债券、现金、商品或另类资产中。均值-方差分析给出一个基准回答：如果只关心预期收益和波动率，组合选择就是在收益和风险之间做权衡。
| 投资问题 | 均值-方差语言 |
|---|---|
| 为什么不要重仓一只股票 | 个体风险可以通过分散化降低 |
| 为什么相关系数重要 | 组合风险取决于协方差而非单个波动率 |
| 为什么有“核心组合+现金/杠杆” | 无风险资产与切点组合的线性组合 |
| 为什么业绩要看 Sharpe 比率 | 每单位总风险获得的超额收益 |
模型设置与直觉
设有 个风险资产，预期收益向量为 ，协方差矩阵为 ，组合权重为 ，且 。组合预期收益和方差为：
直觉上， 是各资产预期收益的加权平均； 不只是各资产方差的加权平均，还包括资产之间是否一起波动。分散化的力量正来自协方差项。
关键定义与定理
可行集
所有满足权重约束的组合在“风险-收益”平面上形成的集合。
中文解释：它描述投资者用现有资产能做出的全部组合选择。
有效前沿
在给定风险下预期收益最高，或在给定预期收益下风险最低的组合集合。
中文解释：有效前沿是“没有明显浪费”的组合。前沿以下的组合不是不可能，而是被其他组合支配。
最小方差组合
所有可行组合中方差最低的组合。
中文解释：如果一个投资者只想最小化波动率，不关心预期收益，就会选择它。
切点组合
引入无风险资产后，与风险资产有效前沿相切的组合。它最大化 Sharpe 比率：
中文解释：所有投资者先持有同一个最佳风险组合，再根据风险承受能力决定借入、贷出或持有多少无风险资产。
两基金分离定理
在均值-方差框架下，投资者的最终组合可以由两个基金组合而成：无风险资产和切点风险组合。
中文解释：资产选择和风险偏好可以分开。市场先决定最优风险组合，个人偏好只决定放大或缩小风险敞口。
例子：两个资产的分散化
资产 A 的预期收益为 8%，波动率为 20%；资产 B 的预期收益为 4%，波动率为 10%；两者相关系数为 0。若各投 50%，组合预期收益为：
组合方差为：
组合波动率为：
注意它低于两个波动率的简单平均 。这不是因为资产 B “低风险”本身，而是因为两个资产不完全同向波动。
可运行例题：相关系数决定分散化空间
保持两个资产各自的收益和波动率不变，只改变相关系数，搜索不允许卖空时的最小方差权重。
Python：两资产最小方差与相关性
相关性越高，可利用的分散化空间通常越小。这里的权重使用已知参数；真实投资中均值和协方差都要估计，样本误差可能比公式本身更重要。
学习顺序建议
| 小节 | 先抓住的问题 | 需要特别留意 |
|---|---|---|
| 3.1 投资组合理论基础 | 组合收益与组合风险如何计算 | 权重约束、协方差矩阵 |
| 3.2 两资产组合 | 分散化从哪里来 | 相关系数对风险的影响 |
| 3.3 多资产组合与有效前沿 | 哪些组合是有效的 | 最小方差组合、有效前沿形状 |
| 3.4 引入无风险资产 | 无风险资产如何改变选择空间 | 借贷、杠杆、资本配置线 |
| 3.5 资本市场线与分离定理 | 为什么切点组合如此重要 | Sharpe 比率、两基金分离 |
| 3.6 资产配置实践 | 理论如何进入真实组合 | 估计误差、约束、再平衡 |
常见错误与考试陷阱
- 把组合波动率算成波动率加权平均：正确做法是先算方差，再开方。
- 忽略协方差项：相关性越高，分散化收益越小；相关性为 1 时没有分散化收益。
- 认为有效前沿上的组合都适合自己：有效只说明不被支配，具体选择仍取决于风险偏好。
- 把最小方差组合当成最优组合：只有极端保守或特定目标下才会选择它。
- 低估估计误差：均值估计误差会让最优权重非常不稳定，实务中需要约束和稳健化。
自测题
- 为什么组合风险取决于协方差矩阵，而不是只取决于各资产方差？
- 两资产相关系数从 1 降到 0，再降到 -1，有效前沿会怎样变化？
- 无风险资产存在时，为什么最大 Sharpe 比率组合成为核心组合？
- 如果估计得到某资产预期收益很高，均值-方差优化会如何反应？为什么实务中要谨慎？
答案指引
- 组合方差包含 。资产之间同涨同跌会放大组合波动，不同涨跌会抵消部分风险。
- 相关系数越低，分散化越强，有效前沿越向左上方弯曲；相关系数为 -1 时，可能构造零风险组合。
- 任意无风险资产与风险组合的连线斜率都是 Sharpe 比率。斜率最高的切点组合给每单位风险最高超额收益。
- 优化器会倾向给它很高权重，甚至在允许卖空时给出极端杠杆。若预期收益估计噪声大，这种权重可能完全不稳健。
小结与过渡
本章说明了分散化和有效前沿如何把风险资产组合成更有效的投资机会。下一章的 CAPM 会在此基础上加入市场均衡：如果所有投资者都做均值-方差选择，哪些风险会被补偿，哪些风险会被分散掉？