第二章：效用理论与风险偏好

第一章用现金流、贴现和无套利搭起了价格框架。本章回答更深一层的问题：为什么风险资产需要提供额外收益？为什么同样的赌博，有人愿意参与，有人宁愿买保险？资产定价中的“风险溢价”并不是凭空设定的参数，它来自投资者对不确定财富的偏好。

效用理论的作用，是把“我不喜欢风险”翻译成可以推导、比较和估计的数学对象。你不需要把每个公理背成哲学命题，但要能看懂：凹效用意味着风险厌恶；风险厌恶程度决定确定性等价和风险溢价；这些概念会在均值-方差、CAPM 和跨期消费模型中反复出现。

本章路线

学习成果

通过本章学习，你将掌握：

1. 期望效用理论的公理化基础
2. 风险厌恶的度量方法
3. 不同效用函数的性质和应用
4. 随机占优的概念和判别方法
5. 确定性等价在资产定价中的应用

读完本章后，你应能完成以下任务：

• 判断一个效用函数是否体现风险厌恶、风险中性或风险偏好。
• 用绝对风险厌恶和相对风险厌恶解释不同财富水平下的投资行为。
• 计算简单彩票的期望效用、确定性等价和风险溢价。
• 区分一阶随机占优与二阶随机占优，并说明它们为什么不依赖具体效用函数。
• 解释为什么风险溢价取决于“坏状态下的损失”，而不只是收益率方差。

金融与经济动机

在现实投资中，投资者并不是只最大化期望收益。一个 50% 概率赚 100 元、50% 概率亏 100 元的赌博，期望收益为 0，但大多数人不会无所谓；一个收益更高但在经济衰退时亏损更大的资产，也不一定比低收益的保险型资产更有吸引力。

效用理论帮助我们把这些现象放进统一框架：

模型设置与直觉

设投资者最终财富为随机变量 $W$，效用函数为 $u(W)$。在期望效用框架下，投资者比较不同选择时看的是：

而不是 $E[W]$。若 $u'(W)>0$，更多财富更好；若 $u''(W)<0$，边际效用递减，说明同样 1 元钱在低财富状态更有价值。

这条直觉非常重要：风险资产如果在低财富、坏经济状态中支付少，它会降低最宝贵状态下的财富，因此必须提供更高的平均收益作为补偿。

关键定义与定理

期望效用

彩票 $L=(p_1,x_1;\ldots;p_n,x_n)$ 的期望效用为：

中文解释：不是先把金额平均再取效用，而是先对每个结果取效用，再按概率平均。

风险厌恶

若投资者对任意公平赌博都不愿意接受，则称其风险厌恶。充分常用的数学条件是：

中文解释：效用函数凹，代表损失 1 元带来的痛苦大于获得 1 元带来的快乐。

Arrow-Pratt 风险厌恶系数

绝对风险厌恶：

相对风险厌恶：

中文解释：$A(W)$ 更适合讨论固定金额风险，例如是否买保险；$R(W)$ 更适合讨论按财富比例投资风险资产，例如股票配置比例。

确定性等价与风险溢价

确定性等价 $CE$ 满足：

风险溢价为：

中文解释：$CE$ 是投资者认为“和这个风险彩票一样好”的确定金额；$RP$ 是投资者愿意放弃的平均收益，以避免风险。

例子：从期望收益到确定性等价

某投资者效用函数为 $u(W)=\sqrt{W}$。有一种彩票：50% 概率得到 64，50% 概率得到 144。

期望财富：

期望效用：

确定性等价满足 $\sqrt{CE}=10$，所以：

风险溢价：

这个结果说明，投资者并不是觉得彩票“值 104”，而是愿意用确定的 100 换掉它。4 就是承担该风险所需要的补偿。

可运行例题：均值相同，风险溢价可以不同

两种彩票的期望财富都为 104。第二种彩票把结果进一步拉开，是第一种彩票的均值保持扩散。

凹效用下，更宽的彩票有更低确定性等价和更高风险溢价。这个方向来自风险厌恶；具体金额依赖效用函数和财富水平，不能当作所有投资者的统一市场价格。

学习顺序建议

常见错误与考试陷阱

1. 把效用函数当成唯一可观测量：效用函数本身可做正仿射变换，重要的是它代表的偏好和风险厌恶。
2. 先平均财富再取效用：风险厌恶者通常有 $u(E[W])>E[u(W)]$，顺序不能反。
3. 混淆绝对与相对风险厌恶：固定金额赌博和固定比例投资对应不同风险厌恶概念。
4. 认为高方差一定更差：若高方差资产在坏状态支付更多，可能反而像保险。
5. 把随机占优当成均值比较：随机占优比较的是整个分布，不只是平均值。

自测题

1. 为什么凹效用函数意味着投资者厌恶公平赌博？
2. 对 $u(W)=\ln W$，判断绝对风险厌恶和相对风险厌恶随财富如何变化。
3. 某彩票 50% 概率得到 80，50% 概率得到 120，效用函数 $u(W)=\sqrt W$。确定性等价大约是多少？风险溢价为多少？
4. 一阶随机占优为什么对所有“财富越多越好”的投资者都成立？

答案指引

1. 由 Jensen 不等式，凹函数满足 $E[u(W)]<u(E[W])$。公平赌博的期望财富等于初始财富，但期望效用更低。
2. $A(W)=1/W$，随财富上升下降；$R(W)=1$，保持不变。这就是对数效用的常相对风险厌恶性质。
3. $E[u(W)]=0.5\sqrt{80}+0.5\sqrt{120}\approx9.944$，所以 $CE\approx98.9$。期望财富为 100，风险溢价约 1.1。
4. 一阶随机占优意味着在任意财富门槛上，一个分布至少同样可能达到更高结果，并在某些地方严格更好；只要效用单调递增，期望效用就不会更低。

小结与过渡

本章把风险偏好放进资产定价：投资者关心的是状态中的效用，而不是单纯的平均金额。下一章会把这种偏好简化为均值和方差两个维度，进入马科维茨投资组合理论，并解释为什么分散化可以降低无补偿风险。