外部性、公共物品与机制

外部性、庇古税、科斯定理、公共物品供给与VCG机制

第 10 讲：外部性、公共物品与机制

本章导学

前面的福利定理告诉我们，在一组严格条件下，竞争性市场可以实现有效配置。本章讨论这些条件最常见的失效方式：行为影响了他人却没有进入价格，或者物品无法通过排他和竞争来收费。外部性和公共物品是理解环境政策、公共财政和平台治理的基础。

学完本章后，你应当能够：

区分正外部性、负外部性、公共物品、俱乐部物品和公共资源。
推导私人成本、社会成本、市场均衡、社会最优和效率损失。
比较庇古税、科斯谈判、排污权交易和数量管制的适用条件。
解释公共物品的搭便车问题以及 VCG 机制如何诱导真实报告。

常见题目会用线性需求和成本函数要求你计算市场产量、社会最优产量、最优税率和 DWL。作业中还常出现政策比较题，重点不是背“税优于管制”，而是说明信息、交易成本、产权和执行条件。

本章回到第 4 章的福利判断，并借用第 8 章的激励工具处理公共物品。下一章的市场设计会进一步讨论当价格机制本身受限时，怎样设计非价格分配规则。

经济动机 (Economic Motivation)

市场失灵 (Market Failure) 是指市场机制无法实现资源的有效配置。外部性和公共物品是两种最重要的市场失灵类型：

外部性 (Externalities)

当一个经济主体的行为对他人的福利产生了影响，而这种影响没有在市场价格中得到反映时，就出现了外部性：

负外部性：工厂污染河流、汽车尾气、二手烟
正外部性：教育、疫苗接种、研发创新、养蜂与果园

问题：

负外部性 → 社会成本 > 私人成本 → 市场产出过多
正外部性 → 社会收益 > 私人收益 → 市场产出过少

公共物品 (Public Goods)

公共物品具有两个特征：

非排他性 (Non-excludability)：无法阻止他人使用（如国防）
非竞争性 (Non-rivalry)：一人使用不影响他人使用（边际成本为0）

例子：国防、路灯、公共电视、开源软件、基础研究

问题：搭便车 (Free-riding) → 市场供给不足或为零

历史与政策意义

这些理论为环境政策（碳税、排污权交易）、公共财政（税收融资）、反垄断（网络效应）提供了理论基础。

一、外部性的经济分析 (Economic Analysis of Externalities)

1.1 负外部性：污染的例子

模型设定：

某企业生产产品，产量 $q$
私人边际成本： $MC^P(q) = c \cdot q$ （线性）
生产产生污染，外部边际损害： $MD(q) = d \cdot q$
社会边际成本： $MC^S(q) = MC^P(q) + MD(q) = (c+d)q$
市场需求： $P(q) = a - bq$ （边际收益/边际社会价值）

市场均衡（企业只考虑私人成本）：

P(q^M) = MC^P(q^M)

a - bq^M = cq^M

q^M = \frac{a}{b+c}

社会最优（考虑外部性）：

P(q^*) = MC^S(q^*)

a - bq^* = (c+d)q^*

q^* = \frac{a}{b+c+d} < q^M

效率损失（DWL）：

DWL = \int_{q^*}^{q^M} [MC^S(q) - P(q)] dq = \frac{d^2(q^M - q^*)^2}{2}

图形分析：

市场均衡： $MC^P$ 与需求曲线交点
社会最优： $MC^S$ 与需求曲线交点
灰色三角形为DWL

1.2 庇古税 (Pigouvian Tax)

Pigou (1920) 提出：对每单位产出征税 $t$ ，使企业面临的边际成本等于社会边际成本。

最优税率：

t^* = MD(q^*) = d \cdot q^*

在我们的线性例子中：

t^* = d \cdot \frac{a}{b+c+d}

征税后，企业的优化问题：

\max_q [P(q) - MC^P(q) - t]q

一阶条件：

P(q) = MC^P(q) + t

如果设 $t = t^*$ ：

a - bq = cq + d \cdot \frac{a}{b+c+d}

解得 $q = q^*$ （实现社会最优）

数值例子：

$a = 100$ , $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 0.5$

市场均衡：

q^M = \frac{100}{1+1} = 50

社会最优：

q^* = \frac{100}{1+1+0.5} = 40

最优税率：

t^* = 0.5 \times 40 = 20

征税后价格：

P = 100 - 40 = 60

企业收益（扣除税后）：

60 - 1 \times 40 - 20 = 0

（边际利润为0，正常）

税收收入：

T = t^* \times q^* = 20 \times 40 = 800

1.3 正外部性：研发的例子

设定：

企业进行研发，投入 $r$
私人收益： $B^P(r) = \alpha \sqrt{r}$
外部收益（知识溢出）： $B^E(r) = \beta \sqrt{r}$
社会收益： $B^S(r) = (\alpha + \beta)\sqrt{r}$
成本： $C(r) = r$

市场均衡（企业只考虑私人收益）：

B^P_r(r^M) = C_r(r^M)

\frac{\alpha}{2\sqrt{r^M}} = 1

r^M = \frac{\alpha^2}{4}

社会最优：

B^S_r(r^*) = C_r(r^*)

\frac{\alpha + \beta}{2\sqrt{r^*}} = 1

r^* = \frac{(\alpha+\beta)^2}{4} > r^M

庇古补贴：

s^* = B^E_r(r^*) = \frac{\beta}{2\sqrt{r^*}}

补贴后，企业最优化：

B^P_r(r) + s^* = C_r(r)

达到 $r = r^*$ 。

二、科斯定理 (Coase Theorem)

2.1 定理陈述

Coase (1960)：

如果 (1) 产权明确界定，(2) 交易成本为零，(3) 财富效应可忽略，那么无论产权初始分配给谁，当事人之间的自愿谈判都将导致帕累托有效的资源配置。

核心洞见：

效率结果不依赖于产权分配
但分配结果（谁受益）依赖于产权分配
关键是产权明确 + 可交易

2.2 数值例子

情景：

工厂生产，产量 $q$ ，利润 $\pi_F(q) = 100q - q^2$
渔民捕鱼，受污染影响，利润 $\pi_R(q) = 200 - 2q^2$ （ $q$ 是工厂产量）

无外部性时（工厂单独优化）：

\max_q \pi_F(q) = 100q - q^2

\frac{d\pi_F}{dq} = 100 - 2q = 0 \Rightarrow q = 50

社会最优（最大化联合利润）：

\max_q [\pi_F(q) + \pi_R(q)] = 100q - q^2 + 200 - 2q^2 = 100q - 3q^2 + 200

\frac{d}{dq} = 100 - 6q = 0 \Rightarrow q^* = \frac{100}{6} \approx 16.67

情形1：产权属于工厂（有权污染）

渔民愿意支付给工厂多少钱来减少产量从50到16.67？

工厂损失：

\pi_F(50) - \pi_F(16.67) = (5000 - 2500) - (1667 - 278) = 2500 - 1389 = 1111

渔民收益：

\pi_R(16.67) - \pi_R(50) = [200 - 2(16.67)^2] - [200 - 2(50)^2]

= [200 - 556] - [200 - 5000] = -356 - (-4800) = 4444

由于渔民收益（4444）> 工厂损失（1111），存在互利空间。

谈判结果：渔民支付工厂 $P \in [1111, 4444]$ ，工厂减产到16.67。

情形2：产权属于渔民（工厂无权污染）

工厂愿意支付多少钱来获得生产16.67的权利？

工厂收益：

\pi_F(16.67) - \pi_F(0) = 1389 - 0 = 1389

渔民损失：

\pi_R(0) - \pi_R(16.67) = 200 - (-356) = 556

工厂收益（1389）> 渔民损失（556），存在互利空间。

谈判结果：工厂支付渔民 $P \in [556, 1389]$ ，工厂生产16.67。

结论：两种产权分配都导致 $q^* = 16.67$ （效率相同），但支付方向相反（分配不同）。

2.3 科斯定理的局限

交易成本
- 现实中谈判、监督、执行都有成本
- 多方谈判时成本尤其高（如大气污染影响数百万人）
产权难以界定
- 谁拥有清洁空气的权利？
- 气候变化的跨国性
财富效应
- 初始产权分配影响支付意愿
- 违反"不依赖初始分配"假设
策略行为
- 威胁、讹诈、hold-up问题

政策含义：当科斯条件不满足时（通常情况），需要政府干预（税收、法规）。

2.4 排污权交易 (Cap-and-Trade)

Coase逻辑的应用：

政府设定总排放上限（Cap）
分配或拍卖排污许可证
企业可以交易许可证（Trade）

效率性：

边际减排成本低的企业减排更多，卖出许可证
边际减排成本高的企业购买许可证
市场均衡时，所有企业的边际减排成本相等（成本最小化）

例子：欧盟碳排放交易体系（EU ETS）、美国SO₂排放交易

优势 vs. 庇古税：

维度	庇古税	排污权交易
价格/数量	固定价格，数量灵活	固定数量，价格灵活
信息要求	需知道最优税率	需知道最优总量
不确定性下	数量不确定	价格不确定
政治可行性	税收抵触	产权更受欢迎

Weitzman (1974)：

如果边际损害陡峭（如毒物），用数量工具（配额）
如果边际减排成本陡峭，用价格工具（税）

三、公共物品理论 (Public Goods Theory)

3.1 公共物品的分类

	竞争性	非竞争性
排他性	私人物品（食物、衣服）	俱乐部物品（有线电视、私人公园）
非排他性	公共资源（渔场、牧场）	纯公共物品（国防、知识）

公共资源的悲剧：过度使用（如过度捕捞）→ 需要配额或产权

3.2 公共物品的最优供给

Samuelson条件 (1954)：

对于公共物品，社会最优供给水平满足：

\sum_{i=1}^N MRS_i = MRT

其中：

$MRS_i$ ：个人 $i$ 的边际替代率（对公共物品的边际支付意愿）
$MRT$ ：边际转换率（生产公共物品的边际成本）

解释：

私人物品：个人的 $MRS$ 分别等于 $MRT$ （每个人独立决定消费量）
公共物品：所有人的 $MRS$ 之和等于 $MRT$ （消费量相同，但估值不同）

形式化：

消费者 $i$ 的效用： $u_i(x_i, G)$

$x_i$ ：私人物品消费
$G$ ：公共物品（所有人消费量相同）

预算约束： $x_i + t_i = w_i$ （ $t_i$ 是对公共物品的贡献）

生产约束： $G = \sum_i t_i$ （假设生产公共物品的成本为1单位私人物品）

社会规划者问题：

\max \sum_i \lambda_i u_i(x_i, G)

\text{s.t. } \sum_i x_i + G = \sum_i w_i

一阶条件：

\sum_i \lambda_i \frac{\partial u_i}{\partial G} = \sum_i \lambda_i \frac{\partial u_i}{\partial x_i}

即：

\sum_i MRS_i = 1 = MC_G

这就是Samuelson条件。

3.3 搭便车问题

自愿贡献博弈：

$N$ 个人，每人初始禀赋 $w$ ，决定贡献 $g_i \in [0, w]$ 到公共物品。

公共物品总量： $G = \sum_i g_i$

个人 $i$ 的效用：

u_i(g_i, G) = w - g_i + v_i(G)

其中 $v_i(G)$ 是从公共物品获得的效用， $v_i' > 0, v_i'' < 0$ 。

纳什均衡：

个人 $i$ 最优化：

\max_{g_i} u_i = w - g_i + v_i(g_i + G_{-i})

一阶条件：

-1 + v_i'(G) = 0

v_i'(G^{NE}) = 1

社会最优：

\max \sum_i u_i = N \cdot w - G + \sum_i v_i(G)

一阶条件：

-1 + \sum_i v_i'(G^*) = 0

\sum_i v_i'(G^*) = 1

由于每个人在纳什均衡中都满足 $v_i'(G^{NE}) = 1$ ，而社会最优要求 $\sum_i v_i'(G^*) = 1$ ，因此：

如果 $v_i$ 相同，则 $v'(G^{NE}) = 1$ 而 $N \cdot v'(G^*) = 1$ ，即 $v'(G^*) = 1/N$ 。

由于 $v'' < 0$ （边际效用递减）， $v'(G^*) < v'(G^{NE})$ 意味着 $G^* > G^{NE}$ 。

结论：纳什均衡供给不足。

数值例子：

$N = 3$ , $w = 100$
$v_i(G) = 20\sqrt{G}$ （相同偏好）

社会最优：

\max [3 \times 100 - G + 3 \times 20\sqrt{G}]

-1 + 3 \times 20 \times \frac{1}{2\sqrt{G^*}} = 0

G^* = 900

人均贡献： $g^* = 300$ （每人贡献全部禀赋的3倍？不对）

重新计算：

-1 + \frac{30}{\sqrt{G^*}} = 0 \Rightarrow \sqrt{G^*} = 30 \Rightarrow G^* = 900

但 $G^* = 900 > 3 \times 100 = 300$ （总禀赋），矛盾！

问题在于 $v_i$ 的规模太大。调整参数： $v_i(G) = 2\sqrt{G}$

社会最优：

-1 + 3 \times 2 \times \frac{1}{2\sqrt{G^*}} = 0

\frac{3}{\sqrt{G^*}} = 1 \Rightarrow G^* = 9

纳什均衡（对称）：

-1 + \frac{1}{\sqrt{G^{NE}}} = 0 \Rightarrow G^{NE} = 1

供给不足！（ $G^{NE} = 1 < G^* = 9$ ）

3.4 林达尔均衡 (Lindahl Equilibrium)

思想：为每个人设定个性化的价格（税率） $t_i$ ，使得：

每个人在给定价格下最优化
价格之和等于边际成本
所有人同意的公共物品数量

均衡条件：

MRS_i(G^L) = t_i \quad \forall i

\sum_i t_i = MC(G^L)

性质：

林达尔均衡是帕累托有效的
等价于Samuelson条件
但需要知道每个人的真实偏好

问题：激励不相容

每个人有动机谎报偏好（假装估值低）以降低自己的税负
需要机制设计解决

四、VCG机制用于公共物品 (VCG for Public Goods)

4.1 公共项目的决策问题

设定：

是否建设一个公共项目（如桥梁）？
成本： $C$
$N$ 个人，每人估值 $v_i$ （私人信息）
社会最优：如果 $\sum_i v_i \geq C$ 则建设

目标：设计机制激励真实报告估值

4.2 VCG机制

回顾VCG一般形式（第8章）：

参与者 $i$ 的支付：

t_i(\hat{v}) = \sum_{j \neq i} v_j(x^*(\hat{v}_{-i})) - \sum_{j \neq i} v_j(x^*(\hat{v}))

其中 $x^*(\hat{v})$ 最大化报告估值下的总福利。

应用于公共项目：

决策规则：

x^*(\hat{v}) = \begin{cases} 1 & \text{if } \sum_i \hat{v}_i \geq C \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}

参与者 $i$ 的支付：

t_i = \begin{cases} \max\{0, C - \sum_{j \neq i} \hat{v}_j\} & \text{if } x^* = 1 \\ \max\{0, \sum_{j \neq i} \hat{v}_j - C\} & \text{if } x^* = 0 \end{cases}

解释：

如果项目建设（ $x^* = 1$ $x^{*} = 1$ ）， $i$ $i$ 支付其关键性：
- 如果没有 $i$ ，项目不会建（ $\sum_{j \neq i} v_j < C$ ），则 $i$ 支付 $C - \sum_{j \neq i} v_j$
- 否则支付0
如果项目不建（ $x^* = 0$ $x^{*} = 0$ ）， $i$ $i$ 获得补偿：
- 如果没有 $i$ ，项目会建（ $\sum_{j \neq i} v_j \geq C$ ），则 $i$ 获得 $\sum_{j \neq i} v_j - C$ （负支付）
- 否则支付0

4.3 数值例子

情景：

建桥成本： $C = 100$
3个人，真实估值： $v_1 = 50, v_2 = 40, v_3 = 30$
总估值： $120 > 100$ ，应该建桥

考虑个人1是否如实报告：

情形A： $\hat{v}_1 = 50$ （真实）

$\sum_i \hat{v}_i = 120 > 100$ ，建桥
$\sum_{j \neq 1} \hat{v}_j = 90 < 100$
$t_1 = 100 - 90 = 10$
个人1净效用： $v_1 - t_1 = 50 - 10 = 40$

情形B： $\hat{v}_1 = 20$ （低报）

$\sum_i \hat{v}_i = 90 < 100$ ，不建桥
$\sum_{j \neq 1} \hat{v}_j = 70 < 100$
$t_1 = 0$
个人1净效用： $0 - 0 = 0$

真实报告更优（ $40 > 0$ ）。

情形C： $\hat{v}_1 = 80$ （高报）

$\sum_i \hat{v}_i = 150 > 100$ ，建桥
$\sum_{j \neq 1} \hat{v}_j = 90 < 100$
$t_1 = 10$ （同情形A）
个人1净效用： $50 - 10 = 40$

高报也不改变结果（因为无论如何都建）。

一般性：VCG机制是优势策略激励相容的。

4.4 VCG的预算不平衡

总支付：

\sum_i t_i = \sum_i \max\{0, C - \sum_{j \neq i} \hat{v}_j\}

在上例中：

$t_1 = 10, t_2 = 60, t_3 = 70$ （需验证）

等等，让我重新计算。

个人2：

$\sum_{j \neq 2} \hat{v}_j = 50 + 30 = 80 < 100$
$t_2 = 100 - 80 = 20$

个人3：

$\sum_{j \neq 3} \hat{v}_j = 50 + 40 = 90 < 100$
$t_3 = 100 - 90 = 10$

总支付： $t_1 + t_2 + t_3 = 10 + 20 + 10 = 40 < 100$

预算赤字！（收入不足以覆盖成本）

这是VCG的一个问题：总支付可能不等于成本。

解决方案：

政府用税收补贴差额
或使用其他机制（如"pivotal mechanism"的变体）

五、环境经济学应用 (Environmental Economics Applications)

5.1 全球气候变化

特点：

最大的负外部性问题
跨国、跨代
公共品性质（气候稳定）

政策工具：

碳税（价格工具）
碳交易（数量工具）
国际协议（巴黎协定）

挑战：

搭便车（每个国家都希望其他国家减排）
不确定性（气候模型、技术进步）
公平性（历史责任vs.当前排放）

5.2 本地污染控制

案例：美国清洁空气法案

SO₂排放交易 (1990)：

上限逐年递减
企业可交易许可证
结果：大幅减排（减少50%），成本远低于预期

教训：

市场机制有效
明确产权是关键
监督和执行很重要

5.3 可再生资源管理

渔业配额：

传统：开放准入 → 过度捕捞
改革：个人可转让配额（ITQ）
结果：可持续捕捞，渔民收入增加

例子：新西兰、冰岛的渔业管理

直觉总结 (Intuitive Summary)

市场失灵的根源

失灵类型	原因	市场结果	解决方案
负外部性	私人成本 < 社会成本	过度生产	庇古税、配额、产权交易
正外部性	私人收益 < 社会收益	生产不足	补贴、专利保护、公共资助
公共物品	非排他性 + 非竞争性	搭便车 → 供给不足	政府提供、VCG机制
公共资源	非排他性 + 竞争性	过度使用（悲剧）	产权分配、配额

政策工具比较

价格工具 (庇古税) vs. 数量工具 (配额/交易)：

优势：

税：灵活调整、收入
配额：确定性、政治可行

劣势：

税：数量不确定
配额：价格波动

选择依据Weitzman准则：边际损害曲线 vs. 边际减排成本曲线的斜率

科斯 vs. 庇古

维度	庇古方案	科斯方案
机制	政府干预（税/补贴）	私人谈判
条件	需知道最优税率	产权明确 + 零交易成本
适用	大规模外部性（污染）	小规模、当事人少
效率	可实现社会最优	谈判达帕累托有效
分配	政府决定	初始产权决定

现实中，两者互补：

明确产权（科斯）是市场交易的前提
当交易成本高时，需要税收（庇古）

文献导读 (Literature Guide)

奠基性论文：

Pigou, A. (1920). The Economics of Welfare. (庇古税)
Coase, R. (1960). "The Problem of Social Cost." Journal of Law and Economics. (科斯定理)
Samuelson, P. (1954). "The Pure Theory of Public Expenditure." RES. (公共物品最优条件)
Lindahl, E. (1919). "Just Taxation—A Positive Solution." (林达尔均衡)

环境经济学：

Weitzman, M. (1974). "Prices vs. Quantities." RES. (政策工具选择)
Tietenberg, T. (2006). Emissions Trading: Principles and Practice. (排污权交易)
Stern, N. (2007). The Stern Review on the Economics of Climate Change. (气候变化经济学)

机制设计与公共物品：

Clarke, E. (1971). "Multipart Pricing of Public Goods." Public Choice.
Groves, T., & Ledyard, J. (1977). "Optimal Allocation of Public Goods: A Solution to the 'Free Rider' Problem." Econometrica.

教科书：

Mas-Colell, A., Whinston, M., & Green, J. (1995). Microeconomic Theory. Chapter 11 (外部性和公共物品)
Kolstad, C. (2010). Environmental Economics (2nd ed.). Oxford.

本章小结

外部性和公共物品是两种核心的市场失灵类型。负外部性导致市场过度生产（污染），正外部性导致市场生产不足（创新），而公共物品则因搭便车问题导致供给不足。

解决外部性的经典方案包括庇古税（政府干预，矫正价格）和科斯定理（明确产权，私人谈判）。现代环境政策综合了两者优势，通过排污权交易（cap-and-trade）既明确了总量控制（产权），又利用了市场机制（价格发现）。

公共物品的最优供给遵循Samuelson条件（边际支付意愿之和 = 边际成本），但自愿贡献博弈中的搭便车问题导致供给严重不足。VCG机制通过巧妙的支付规则实现了激励相容，使人们愿意真实报告估值，但存在预算不平衡的问题。

这些理论不仅具有学术价值，更在环境政策（碳税、碳交易）、公共财政（税收融资）、资源管理（渔业配额）等领域有广泛应用，为解决从本地污染到全球气候变化等重大问题提供了理论基础和政策工具。

自学检查

核心直觉回看：外部性和公共物品的共同点是私人边际收益或成本不等于社会边际收益或成本。市场价格没有把全部影响传递给决策者，因此个体最优与社会最优分离。

关键模型提醒：负外部性的庇古税应等于社会最优产量处的边际外部成本：

t^*=MEC(q^*).

公共物品的 Samuelson 条件是所有人的边际支付意愿相加等于边际成本：

\sum_i MRS_i = MC.

常见误区

认为科斯定理说明政府永远不需要干预。它依赖产权清晰、交易成本很低、参与者很少等条件。
把公共物品等同于“政府提供的物品”。关键是非竞争性和非排他性，而不是提供主体。
只计算污染者的私人成本，忘记把受害者的损失计入社会成本。
认为 VCG 可以免费解决公共物品问题。它有激励优势，但可能预算不平衡。

自测题

负外部性下，为什么市场产量通常高于社会最优产量？
庇古税的税率应当等于哪个边际量？
科斯谈判的效率结论和分配结论有什么区别？
为什么公共物品的最优条件要把每个人的边际支付意愿纵向相加？
VCG 机制如何鼓励公共项目估值的真实报告？它有什么局限？

下一步学习提示

市场设计会处理另一类资源配置问题：价格不能自由调整或不适合作为主要分配工具。请把本章的“机制解决市场失灵”延伸到下一章的“机制替代价格分配”。

下一章我们将学习市场设计，探讨如何在没有价格机制的情况下进行资源配置，包括稳定匹配理论、学校选择、器官捐赠匹配等实际应用。

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