比较静态分析与福利测度

$\frac{\partial x_i}{\partial p_j}$ 是总效应 (Total Effect)
$\frac{\partial h_i}{\partial p_j}\bigg|_{u=\bar{u}}$ 是替代效应 (Substitution Effect)，在效用不变时的需求变化
$-x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}$ 是收入效应 (Income Effect)，因实际收入变化导致的需求变化

详细推导:

从恒等式出发：

x_i(p_1, p_2, m) \equiv h_i(p_1, p_2, v(p_1, p_2, m))

对 $p_j$ 求全导数：

\begin{align*} \frac{\partial x_i}{\partial p_j} &= \frac{\partial h_i}{\partial p_j} + \frac{\partial h_i}{\partial u} \cdot \frac{\partial v}{\partial p_j} \end{align*}

由罗伊恒等式：

\frac{\partial v}{\partial p_j} = -\lambda x_j

由支出函数的性质：

\frac{\partial h_i}{\partial u} = \frac{1}{\lambda} \frac{\partial x_i}{\partial m}

代入并整理得到斯勒茨基方程。

2.2 矩阵形式

对于 $n$ 种商品，斯勒茨基方程可以写成矩阵形式：

\frac{\partial x}{\partial p'} = S(p, u) - \frac{\partial x}{\partial m} x'

其中 $S(p, u)$ 是斯勒茨基替代矩阵，它具有以下重要性质：

对称性: $S_{ij} = S_{ji}$ （由Young定理）
负半定: 对所有非零向量 $z$ ， $z'Sz \le 0$
奇异性: $Sp = 0$ （因为齐次性）

2.3 几何直观解释

价格变化的两步分解：

第一步：替代效应

保持效用不变（沿着原无差异曲线）
旋转预算线以反映新的相对价格
找到新的切点

第二步：收入效应

从假想的补偿预算线移动到实际的新预算线
平行移动预算线
效用水平发生变化

Rendering diagram…

原预算线补偿预算线新预算线

图中的 E' 是一个反事实点：它不是消费者真实面对的预算线，而是为了把替代效应单独分离出来。

斯勒茨基分解最容易混淆的地方，是把“真实的新选择”误认为一步到位。更清楚的读法是：先让消费者保持原来的效用水平，价格变化只改变相对价格，这一步得到替代效应；再把补偿拿走，让购买力回到真实水平，这一步得到收入效应。这样公式里的两个项就对应到图上的两个移动，而不是停留在抽象偏导数上。

2.4 商品分类

根据替代效应和收入效应的符号，可以将商品分类：

正常品 (Normal Good): $\frac{\partial x_i}{\partial m} > 0$ $\frac{\partial x _{i}}{\partial m} > 0$
- 收入增加，需求增加
劣等品 (Inferior Good): $\frac{\partial x_i}{\partial m} < 0$ $\frac{\partial x _{i}}{\partial m} < 0$
- 收入增加，需求减少（如方便面）
吉芬品 (Giffen Good): 劣等品 + 价格上涨需求反而增加
- 必须满足：收入效应的负向作用大于替代效应
- $\frac{\partial x_i}{\partial p_i} > 0$ （违反需求定律）
- 实证中极为罕见

重要命题: 对于自身价格，替代效应总是非正的：

\frac{\partial h_i}{\partial p_i} \le 0

这保证了希克斯需求曲线总是向下倾斜。

3. 福利变化的测度

3.1 问题的提出

假设商品1的价格从 $p_1^0$ 上涨到 $p_1^1$ 。如何用货币单位来衡量这一价格变化对消费者福利的影响？

我们需要回答：消费者需要得到（或愿意放弃）多少钱，才能使其福利水平在价格变化后保持不变？

3.2 补偿变差 (Compensating Variation, CV)

定义: 价格变化后，为了让消费者恢复到原来的效用水平，需要给予（或取走）的收入金额。

数学表达：

CV = e(p_1^1, p_2, u^0) - e(p_1^0, p_2, u^0)

其中 $u^0 = v(p_1^0, p_2, m)$ 是初始效用水平。

等价地：

CV = e(p_1^1, p_2, u^0) - m

直观理解:

如果价格上涨（ $p_1^1 > p_1^0$ ）， $CV > 0$ ：需要补偿消费者
如果价格下降， $CV < 0$ ：消费者愿意支付这么多来享受降价

3.3 等价变差 (Equivalent Variation, EV)

定义: 在价格未发生变化的情况下，取走（或给予）多少收入，能让消费者的效用变化等同于价格变化带来的效用变化。

数学表达：

EV = e(p_1^0, p_2, u^1) - e(p_1^0, p_2, u^0)

其中 $u^1 = v(p_1^1, p_2, m)$ 是价格变化后的效用水平。

如果把价格上涨造成的福利损失记为正数，常用写法是：

EV = m - e(p_1^0, p_2, u^1)

前一个式子是“在旧价格下达到新效用所需的有符号收入变化”，后一个式子是“愿意支付多少来避免这次价格上涨”。做题时先说明采用哪一种符号约定。

3.4 CV与EV的比较

	补偿变差 (CV)	等价变差 (EV)
参考效用水平	原始效用 $u^0$	新效用 $u^1$
评估价格	新价格 $p^1$	原价格 $p^0$
问题	需要多少钱补偿？	等价于放弃多少钱？

关系:

对于正常品且价格上涨： $0 < CV < EV$
对于劣等品：大小关系可能颠倒
对于拟线性效用函数： $CV = EV$ （无收入效应）

3.5 几何表示

考虑商品1价格上涨的情况：

效用
 ↑
 │     E₁ (新均衡, u¹)
 u¹├──────●
 │       /│
 │      / │  ← EV: 在旧价格下达到u¹需要的额外收入
 │     /  │
 u⁰├────●─┤ E₀ (原均衡, u⁰)
 │   /    │
 │  /     │  ← CV: 在新价格下维持u⁰需要的补偿
 │ ●──────┤ E'
 │        │
 └────────┴──→ 收入

4. 消费者剩余 (Consumer Surplus, CS)

4.1 定义

消费者剩余是消费者愿意为某种商品支付的总金额与实际支付金额之间的差额。

在需求曲线 $p = D(x)$ 下：

CS = \int_0^{x^*} D(x)dx - p^* x^*

几何上，这是需求曲线下方、价格线上方的面积。

4.2 消费者剩余的变化

当价格从 $p^0$ 变为 $p^1$ 时：

\Delta CS = \int_{p^0}^{p^1} -x(p)\,dp

若价格上涨，并把消费者剩余损失记为正数，则：

\text{CS 损失} = \int_{p^0}^{p^1} x(p)\,dp

近似关系:

CV \approx \Delta CS \approx EV

这个近似在以下情况下精确成立：

拟线性效用: $U(x_1, x_2) = v(x_1) + x_2$ （无收入效应）
价格变化很小: 泰勒展开的一阶近似

4.3 为什么消费者剩余被广泛使用？

尽管CV和EV在理论上更精确，消费者剩余在实践中更常用，因为：

易于计算: 只需要观察需求曲线
足够准确: 在大多数应用中，误差很小
可加性: 对于独立商品，总CS = 各商品CS之和

Marshall vs. Hicks:

马歇尔需求曲线（普通需求）下的面积 = 消费者剩余
希克斯需求曲线（补偿需求）下的面积 = CV（精确）

5. 完整例题

例题 1: 拟线性效用下的CV、EV和CS

题目: 效用函数 $U(x_1, x_2) = 2\sqrt{x_1} + x_2$ ，初始价格 $p_1^0 = 1, p_2 = 1$ ，收入 $m = 20$ 。现在 $p_1$ 涨到 $p_1^1 = 4$ 。计算CV、EV和 $\Delta CS$ 。

解答:

(1) 求马歇尔需求函数

拉格朗日函数：

\mathcal{L} = 2\sqrt{x_1} + x_2 + \lambda(20 - p_1 x_1 - x_2)

一阶条件：

\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \lambda p_1 &= 0 \\ 1 - \lambda &= 0 \end{align*}

从第二个方程得 $\lambda = 1$ ，代入第一个：

\frac{1}{\sqrt{x_1}} = p_1 \implies x_1 = \frac{1}{p_1^2}

代入预算约束：

x_2 = 20 - p_1 \cdot \frac{1}{p_1^2} = 20 - \frac{1}{p_1}

马歇尔需求：

x_1(p_1) = \frac{1}{p_1^2}, \quad x_2(p_1) = 20 - \frac{1}{p_1}

(2) 计算初始和最终消费

初始 ( $p_1^0 = 1$ ): $x_1^0 = 1, x_2^0 = 19$ , $u^0 = 2(1) + 19 = 21$
最终 ( $p_1^1 = 4$ ): $x_1^1 = 1/16, x_2^1 = 19.75$ , $u^1 = 2(1/4) + 19.75 = 20.25$

(3) 计算CV

需要求支出函数。对于拟线性效用，EMP为：

\min p_1 x_1 + x_2 \quad s.t. \quad 2\sqrt{x_1} + x_2 \ge u

一阶条件给出： $x_1 = 1/p_1^2$ （与价格有关，与效用无关！）

代入约束： $x_2 = u - 2/p_1$

支出函数：

e(p_1, u) = p_1 \cdot \frac{1}{p_1^2} + u - \frac{2}{p_1} = u - \frac{1}{p_1}

因此：

\begin{align*} CV &= e(p_1^1, u^0) - e(p_1^0, u^0) \\ &= \left(21 - \frac{1}{4}\right) - \left(21 - 1\right) \\ &= 20.75 - 20 = 0.75 \end{align*}

(4) 计算EV

\begin{align*} EV &= e(p_1^0, u^1) - e(p_1^0, u^0) \\ &= (20.25 - 1) - (21 - 1) \\ &= 19.25 - 20 = -0.75 \end{align*}

等等，这里符号有问题。让我们重新定义：价格上涨使效用下降，所以：

$CV$ : 在新价格下恢复到 $u^0$ 需要的补偿 = $0.75$
$EV$ : 在旧价格下达到 $u^1$ 相当于损失的收入 = $0.75$

重要发现: 对于拟线性效用， $CV = EV$ ！

(5) 计算 $\Delta CS$

反需求函数：从 $x_1 = 1/p_1^2$ 得 $p_1 = 1/\sqrt{x_1}$

\begin{align*} \Delta CS &= -\int_{x_1^1}^{x_1^0} p_1(x)dx \\ &= -\int_{1/16}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}dx \\ &= -[2\sqrt{x}]_{1/16}^{1} \\ &= -(2 - 0.5) = -1.5 \end{align*}

不对，我算错了。让我用另一种方法：

\Delta CS = \int_{p_1^0}^{p_1^1} x_1(p)dp = \int_1^4 \frac{1}{p^2}dp = \left[-\frac{1}{p}\right]_1^4 = -\frac{1}{4} + 1 = 0.75

结论: $CV = EV = \text{CS 损失} = 0.75$ （拟线性效用的特殊性质）

例题 2: 斯勒茨基分解的数值计算

题目: 柯布-道格拉斯效用 $U = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$ ， $p_1 = 2, p_2 = 1, m = 100$ 。若 $p_1$ 涨到3，分解需求变化为替代效应和收入效应。

解答:

马歇尔需求： $x_1 = \frac{0.5m}{p_1} = \frac{50}{p_1}$

初始: $x_1^0 = 25$
最终: $x_1^1 = 16.67$
总效应: $\Delta x_1 = -8.33$

计算替代效应（需要希克斯需求）：

初始效用: $u^0 = 25^{0.5} \cdot 50^{0.5} = 35.36$

在新价格下维持 $u^0$ 的支出：

e(3, 1, u^0) = 2 \cdot 3^{0.5} \cdot 1^{0.5} \cdot u^0 = 2\sqrt{3} \cdot 35.36 \approx 122.47

在此支出下的希克斯需求：

h_1(3, 1, u^0) = \frac{0.5 \cdot 122.47}{3} = 20.41

替代效应: $h_1 - x_1^0 = 20.41 - 25 = -4.59$
收入效应: $x_1^1 - h_1 = 16.67 - 20.41 = -3.74$

验证： $-4.59 + (-3.74) = -8.33$ ✓

解释: 价格上涨导致需求减少8.33单位，其中：

4.59单位是因为商品1相对变贵（替代效应）
3.74单位是因为实际购买力下降（收入效应，正常品）

6. 应用案例

6.1 税收归宿分析

问题: 政府对商品1征收从价税 $t$ （价格从 $p$ 变为 $(1+t)p$ ），如何评估对消费者的福利损失？

使用CV测度：消费者的真实福利损失
使用税收收入： $t \cdot p \cdot x_1(p(1+t))$
额外负担（Excess Burden）= CV - 税收收入

洞见: 即使政府将税收全部返还给消费者，他们的福利仍然受损，因为税收扭曲了相对价格，导致资源配置低效。

6.2 价格补贴的效率

问题: 两种福利政策：

直接给消费者现金 $G$
对商品1进行价格补贴，使价格下降，花费同样金额 $G$

结论（通过CV/EV分析）: 现金转移总是优于等价值的价格补贴，因为：

现金给予消费者更大的选择自由
价格补贴扭曲了相对价格

这解释了经济学家通常偏好现金转移而非实物补贴。

6.3 需求弹性与税收政策

价格弹性定义：

\epsilon = \frac{\partial x}{\partial p} \cdot \frac{p}{x}

斯勒茨基方程告诉我们：

\epsilon = \epsilon_s + \epsilon_m \cdot s

其中：

$\epsilon_s$ : 替代弹性（希克斯）
$\epsilon_m$ : 收入弹性
$s = p \cdot x / m$ : 支出份额

政策含义: 对需求缺乏弹性的商品（如烟草）征税，税收收入更稳定，但消费者福利损失也更大（因为难以替代）。

7. 高级话题

7.1 积分性条件

不是所有的需求函数都能由效用最大化得出。一个函数要成为马歇尔需求，必须满足：

齐次性: $x(tp, tm) = x(p, m)$
预算耗尽: $p \cdot x(p, m) = m$
负半定: 斯勒茨基矩阵 $S$ 负半定
对称性: $S$ 对称

这些条件统称为理性选择的可检验含义。

7.2 拟凹效用与凸偏好

定理: 如果效用函数 $U$ 是拟凹的，则：

最优解存在且唯一（在严格拟凹下）
需求函数连续
间接效用函数拟凸

证明要点: 利用凸集的性质和Weierstrass定理。

8. 文献与拓展阅读

经典论文:

Slutsky, E. (1915). "Sulla teoria del bilancio del consumatore"
Hicks, J.R. (1939). Value and Capital
Samuelson, P.A. (1947). Foundations of Economic Analysis

现代教材:

Mas-Colell et al. (1995), Chapter 2-3
Varian (1992), Chapter 8-10
Jehle & Reny (2011), Chapter 2

9. 本章小结

核心概念	关键公式	经济学含义
斯勒茨基方程	$\frac{\partial x_i}{\partial p_j} = \frac{\partial h_i}{\partial p_j} - x_j \frac{\partial x_i}{\partial m}$	价格效应 = 替代 + 收入
CV	$e(p^1, u^0) - m$	恢复原效用的补偿
EV	$m - e(p^0, u^1)$	等价的收入变化
消费者剩余	$\int D(x)dx - px$	福利的近似测度