第 3 讲：不确定性下的决策

本章导学

前两章默认消费者知道每个选择会带来什么结果，但现实中的投资、保险、医疗和职业选择都带有风险。本章的核心是把“结果不确定”纳入选择模型，并理解风险规避为什么会改变需求、价格和合约形式。

学完本章后，你应当能够：

• 用彩票和状态空间描述不确定性决策问题。
• 解释 vNM 期望效用理论的公理、结论和局限。
• 计算确定性等价、风险溢价以及阿罗-普拉特风险规避测度。
• 分析公平保险、非公平保险、自负额和资产组合选择的最优条件。

常见题目会给定一个财富效用函数和若干随机结果，要求你比较彩票、计算风险溢价或求最优保险购买量。答题时要分清“财富的期望值”和“效用的期望值”，这是本章最容易出错的地方。

本章从第 2 章的福利测度自然过渡而来，也为第 7 章的保险市场逆向选择和道德风险埋下伏笔。行为经济学中的前景理论会在第 9 章重新挑战这里的标准模型。

经济动机 (Economic Motivation)

生活充满了不确定性。无论是投资股票、购买保险，还是选择职业道路，我们都需要在结果未知的情况下做出决策。理解人们如何在风险和不确定性下做选择，对于金融、保险和许多其他领域至关重要。

传统的消费者理论假设决策者面对确定的结果，但现实中：

• 投资者不知道股票明天会涨还是跌
• 购房者不确定未来房价走势
• 农民不知道今年的收成如何
• 创业者面临企业成败的不确定性

这一章我们将学习如何在数学上严格地刻画和分析这类决策问题。

1. 期望效用理论的公理化基础

1.1 基本框架

彩票 (Lottery): 一个彩票$L$是对可能结果的概率分布。例如：

表示以概率$p_i$获得结果$x_i$，其中$\sum_{i=1}^n p_i = 1$。

简单例子:

• L_1 = (\100, 0.5; $0, 0.5)$：抛硬币赌博，正面赢100元，反面什么都没有
• L_2 = (\50, 1)$：确定获得50元

理性的决策者会选择哪个？这取决于其对风险的态度。

1.2 冯·诺依曼-摩根斯特恩 (vNM) 公理

期望效用理论建立在四个理性公理之上：

公理1: 完备性 (Completeness) 对于任意两个彩票$L$和$L'$，决策者要么偏好$L$，要么偏好$L'$，要么对两者无差异。

公理2: 传递性 (Transitivity) 如果$L_1 \succeq L_2$且$L_2 \succeq L_3$，则$L_1 \succeq L_3$。

公理3: 连续性 (Continuity) 如果$L_1 \succ L_2 \succ L_3$，那么存在$\alpha \in (0,1)$使得：

直觉: 如果$L_2$介于$L_1$和$L_3$之间，那么一定存在某个混合彩票（部分概率得到$L_1$，部分概率得到$L_3$）与$L_2$无差异。

公理4: 独立性 (Independence) 如果$L_1 \sim L_2$，那么对于任何$L_3$和$\alpha \in (0,1)$：

直觉: 在两个彩票中加入相同的"噪音"$L_3$不应该改变偏好顺序。这是期望效用理论最有争议的公理。

1.3 期望效用定理

定理 (vNM, 1944): 如果偏好$\succeq$满足上述四个公理，那么存在效用函数$u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$，使得彩票$L = (x_1, p_1; \ldots; x_n, p_n)$的评价为：

且$L \succeq L'$当且仅当$U(L) \ge U(L')$。

关键洞见:

1. 决策者最大化的是期望效用，而非期望价值
2. 效用函数$u(\cdot)$在正仿射变换下唯一：如果$u$代表偏好，那么$v = a + bu$（$b>0$）也代表相同偏好
3. 这是基数效用（与确定性下的序数效用不同）

1.4 圣彼得堡悖论

历史背景: 1713年，尼古拉·伯努利提出了一个著名悖论：

游戏规则: 抛硬币直到出现正面为止。如果第$n$次出现正面，你赢得$2^n$元。你愿意付多少钱参加这个游戏？

期望价值:

期望价值是无穷大！但没有理性人愿意付出巨额财富参加。

解决方案 (丹尼尔·伯努利, 1738): 人们最大化的是期望效用而非期望价值。如果$u(x) = \ln(x)$：

这个有限值更符合人们的直觉。

2. 风险态度与阿罗-普拉特测度

2.1 风险态度的分类

考虑一个公平赌博（期望价值为零）：以50%概率赢得$h$，50%概率输$h$。

定义:

• 风险规避 (Risk Averse): 偏好确定性结果而非公平赌博$$u(\mathbb{E}[X]) > \mathbb{E}[u(X)]$$
• 风险中性 (Risk Neutral): 对赌博和确定性等价无差异$$u(\mathbb{E}[X]) = \mathbb{E}[u(X)]$$
• 风险爱好 (Risk Loving): 偏好赌博而非确定性结果$$u(\mathbb{E}[X]) < \mathbb{E}[u(X)]$$

与效用函数形状的关系:

• 风险规避 ⟺ $u''(x) < 0$ ⟺ 效用函数凹（边际效用递减）
• 风险中性 ⟺ $u''(x) = 0$ ⟺ 效用函数线性
• 风险爱好 ⟺ $u''(x) > 0$ ⟺ 效用函数凸

证明 (风险规避情况): 对于小赌注，泰勒展开：

如果$u''(w) < 0$，则$\mathbb{E}[u(w + \tilde{\epsilon})] < u(w)$，即风险规避。

2.2 确定性等价与风险溢价

确定性等价 (Certainty Equivalent, CE): 使得决策者在确定获得CE和接受赌博之间无差异的确定金额。

风险溢价 (Risk Premium, RP): 决策者为了避免风险愿意放弃的金额。

几何解释:

u(w)
  ↑      
  │     ╱
  │   ╱  ╲
  │ ╱      ╲  ← 效用函数 u(w)
  ├────────●  ← 期望效用 E[u(w̃)]
  │        │
  │        │
  ├────────┼────●
  │   CE   │ E[w̃]
  │←──RP──→│
  └────────┴────→ w

2.3 阿罗-普拉特测度

绝对风险规避系数 (Absolute Risk Aversion, ARA):

相对风险规避系数 (Relative Risk Aversion, RRA):

经济学含义:

对于小额风险$\tilde{\epsilon}$（零期望，方差$\sigma^2$），风险溢价的近似为：

直觉:

• $A(w)$越大，风险规避程度越高，要求的风险溢价越大
• $R(w)$衡量的是财富变化$x\%$时风险规避的变化

2.4 常见效用函数及其风险测度

缩写:

• CARA: Constant Absolute Risk Aversion（常绝对风险规避）
• CRRA: Constant Relative Risk Aversion（常相对风险规避）
• IARA: Increasing Absolute Risk Aversion（递增绝对风险规避）

实证证据: 大多数研究支持$A(w)$递减（富人更愿意承担绝对风险），$R(w)$大致为常数（相对风险偏好不随财富变化）。

2.5 更风险规避的概念

定义: 如果对所有赌博$\tilde{w}$和所有$w_0$，个体1都比个体2要求更高的风险溢价，则称个体1比个体2更风险规避。

Pratt定理: 个体1比个体2更风险规避 ⟺ $u_1 = f(u_2)$，其中$f$是凹函数 ⟺ $A_1(w) \ge A_2(w)$对所有$w$。

3. 保险需求模型

3.1 基本模型设定

情境:

• 初始财富: $w_0$
• 潜在损失: $L$，发生概率为$p$
• 保险公司提供保费率$\pi$：支付$\pi x$可获得$x$元赔偿

决策变量: 购买多少保险$x$？

最终财富:

• 无损失（概率$1-p$）: $w_0 - \pi x$
• 有损失（概率$p$）: $w_0 - L - \pi x + x = w_0 - L + (1-\pi)x$

优化问题:

3.2 公平保险下的完全保险

公平保险: 保费等于期望损失，$\pi = p$。

一阶条件:

由于$u'$严格递减（凹函数），这意味着：

定理: 在公平保险下，风险规避的个体会购买完全保险（$x^* = L$），使得无论损失是否发生，最终财富都相同。

3.3 非公平保险

在现实中，$\pi > p$（保险公司需要盈利）。

命题:

1. 如果$\pi > p$，风险规避者会购买部分保险（$x^* < L$）
2. 风险规避程度越高，购买的保险越多
3. 存在临界保费率$\bar{\pi}$，超过此值则完全不购买保险

数值例子:

设$u(w) = \ln(w)$，$w_0 = 100$，$L = 36$，$p = 0.25$，$\pi = 0.4$。

一阶条件：

解得$x^* \approx 24$（部分保险，而非完全保险$L=36$）。

3.4 自负额与共保

自负额 (Deductible): 损失的前$D$元由被保险人承担。

共保 (Coinsurance): 保险公司只赔偿损失的$\alpha$比例（$0 < \alpha < 1$）。

为什么保险公司使用这些机制？

1. 降低道德风险: 让被保险人分担部分损失，激励其小心
2. 吸引低风险客户: 自负额作为筛选机制（下一章详述）
3. 降低管理成本: 小额索赔不值得处理

4. 资产组合选择理论

4.1 两资产模型

设定:

• 无风险资产：收益率$r_f$
• 风险资产：随机收益率$\tilde{r}$，期望$\mu = \mathbb{E}[\tilde{r}]$，方差$\sigma^2$
• 初始财富$w_0$，投资$\alpha$比例于风险资产

最终财富:

优化问题:

4.2 最优投资比例

一阶条件:

展开:

这个条件在一般情况下难以求解，但可以得到定性结果。

命题: 如果$\mu > r_f$（风险溢价为正）且投资者风险规避，则$0 < \alpha^* < 1$（持有正比例的风险资产，但不全部投资）。

4.3 CARA效用下的明确解

假设$u(w) = -e^{-\alpha w}$（CARA），且$\tilde{r} \sim N(\mu, \sigma^2)$。

利用正态分布下期望效用的性质：

其中：

最优化得：

洞见:

1. 投资比例与风险溢价$(\mu - r_f)$成正比
2. 与风险$\sigma^2$成反比
3. 与风险规避系数$\alpha$成反比
4. 与初始财富$w_0$成反比（CARA的特殊性质）

4.4 均值-方差分析

如果效用函数是二次的：$u(w) = w - \frac{b}{2}w^2$，或者收益率服从正态分布，则投资者的偏好可以完全由投资组合的均值和方差刻画。

期望效用:

这简化为均值-方差效用：

马科维茨投资组合理论的基础！

5. 前景理论 (Prospect Theory)

5.1 期望效用理论的实证挑战

阿莱悖论 (Allais Paradox, 1953):

选择1:

• A: 确定获得100万
• B: 10%概率获得500万，89%概率获得100万，1%概率什么都没有

选择2:

• C: 11%概率获得100万，89%概率什么都没有
• D: 10%概率获得500万，90%概率什么都没有

实证发现: 大多数人选A和D，但这违反了独立性公理！

5.2 前景理论的核心要素

卡尼曼和特沃斯基 (Kahneman & Tversky, 1979) 提出前景理论来解释这些"异常"。

关键特征:

1. 价值函数 (Value Function) 而非效用函数:$$v(x) = \begin{cases} x^\alpha & x \ge 0 \\ -\lambda(-x)^\beta & x < 0 \end{cases}$$
   其中$\lambda > 1$是损失规避系数（通常$\lambda \approx 2-2.5$）。
   性质:
   • 定义在变化（相对于参照点）而非绝对财富上
   • 收益区域凹（风险规避）
   • 损失区域凸（风险寻求）
   • 损失规避: 损失的痛苦大于等量收益的快乐
2. 概率权重函数: 人们系统性地高估小概率事件，低估大概率事件。$$w(p) = \frac{p^\gamma}{(p^\gamma + (1-p)^\gamma)^{1/\gamma}}$$
   其中$\gamma \approx 0.61$。
3. 参照点依赖: 效用取决于相对于某个参照点的变化，而非绝对水平。

5.3 前景理论的预测

四重模式 (Fourfold Pattern):

这解释了为什么同一个人既买彩票（低概率高收益）又买保险（低概率高损失），而期望效用理论难以解释。

5.4 禀赋效应与现状偏见

禀赋效应 (Endowment Effect): 人们对自己拥有的东西赋予更高价值。

经典实验 (Kahneman, Knetsch & Thaler, 1990):

• 给一半学生一个咖啡杯
• 询问拥有者的最低卖价（WTA）和非拥有者的最高买价（WTP）
• 发现$WTA \approx 2 \times WTP$

期望效用理论预测$WTA = WTP$，但损失规避能解释这一差距。

6. 完整例题

例题1: 风险溢价的计算

题目: 个体效用函数$u(w) = \sqrt{w}$，当前财富$w = 100$。面临赌博：50%概率赢36，50%概率输36。求风险溢价。

解答:

期望财富：$\mathbb{E}[\tilde{w}] = 0.5(100+36) + 0.5(100-36) = 100$

期望效用：$\mathbb{E}[u(\tilde{w})] = 0.5\sqrt{136} + 0.5\sqrt{64} = 0.5(11.66) + 0.5(8) = 9.83$

确定性等价：$u(CE) = 9.83 \implies \sqrt{CE} = 9.83 \implies CE = 96.63$

风险溢价：$RP = 100 - 96.63 = 3.37$

解释: 该个体愿意放弃3.37元来避免这个公平赌博。

验证: 使用近似公式

与精确值3.37很接近！

例题2: 最优保险购买

题目: $u(w) = -e^{-0.01w}$，$w_0 = 1000$，$L = 400$，$p = 0.2$，$\pi = 0.25$。求最优保险额$x^*$。

解答:

一阶条件：

对于负指数效用，$u'(w) = 0.01e^{-0.01w}$：

但$x$不能超过$L=400$，所以检查边界：实际上在内部解，$x^* \approx 323$（需要数值求解精确值）。

7. 应用案例

7.1 金融市场中的风险溢价

股权风险溢价之谜 (Equity Premium Puzzle):

历史数据显示股票收益率比国债高约6-8个百分点（年化），但用标准的CRRA效用（$\gamma \approx 1-2$）无法解释如此高的溢价。

可能解释:

1. 更高的风险规避系数（$\gamma > 5$）
2. 损失规避（前景理论）
3. 流动性约束
4. 罕见灾难风险

7.2 健康保险的逆向选择

为什么健康的人不愿意购买健康保险？

传统解释: 期望成本低，保费相对较高 行为解释:

• 过度自信（低估自己生病概率）
• 当前偏见（未来健康问题被过度折现）
• 损失规避（保费是确定损失，疾病是不确定损失）

8. 文献与拓展

经典论文:

• von Neumann & Morgenstern (1944). Theory of Games and Economic Behavior
• Arrow, K. (1971). "Essays in the Theory of Risk-Bearing"
• Pratt, J. (1964). "Risk Aversion in the Small and in the Large"
• Kahneman & Tversky (1979). "Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk"

现代教材:

• Mas-Colell et al. (1995), Chapter 6
• Jehle & Reny (2011), Chapter 4
• Kreps (1988). Notes on the Theory of Choice

9. 本章小结

关键洞见: ✅ 理性决策者最大化期望效用，而非期望价值
✅ 风险规避源于边际效用递减
✅ 公平保险下会完全保险
✅ 真实决策系统性偏离期望效用理论预测

自学检查

核心直觉回看：不确定性下的选择不是比较“平均收益”这么简单。风险规避者关心的是财富状态上的效用平均值，而不是财富本身的平均值；凹效用函数让坏状态的损失权重更重。

关键模型提醒：彩票 $L=(p_i,w_i)$ 的期望效用为

风险溢价来自 $u(Ew)-E[u(w)]$ 的差距；保险模型的核心是一阶条件把不同状态下的边际效用拉近。

常见误区

• 把期望效用最大化误写成期望财富最大化。风险中性时两者才一致。
• 认为风险规避等于永远不冒险。只要风险补偿足够高，风险规避者也可能投资风险资产。
• 看到公平保险就忘记“完全保险”依赖于凹效用、无交易成本和可验证损失。
• 把前景理论理解成“人不理性所以无法建模”。它仍然是有结构的模型，只是参照点、损失规避和概率权重不同。

自测题

1. 对 $u(w)=\sqrt{w}$，比较确定得到 100 与一半概率得 64、一半概率得 144 的彩票。
2. 什么是确定性等价？它和风险溢价之间有什么关系？
3. 公平保费下，为什么风险规避者会选择完全保险？
4. 绝对风险规避系数 $A(w)$ 和相对风险规避系数 $R(w)$ 分别适合描述什么问题？
5. 前景理论如何解释人们在收益区间和损失区间的不同风险态度？

下一步学习提示

把本章的“状态”思想带到一般均衡中：当存在多个商品、多个消费者和多个市场时，价格如何同时协调所有人的计划？下一章会把个体最优放进整个经济系统。

下一章预告: 到目前为止，我们都假设只有一个决策者。但经济学的核心是研究互动 —— 我的最优选择取决于你的选择，反之亦然。下一章我们将学习一般均衡理论，分析整个经济体系如何通过市场价格机制达到均衡，以及这种均衡是否有效率。