寡头垄断与策略性市场行为

古诺、伯特兰、斯塔克尔伯格模型、卡特尔稳定性、进入阻止

第 6 讲：寡头垄断与策略性市场行为

本章导学

寡头市场是博弈论在产业组织中的直接应用。企业既有市场力量，又不能无视竞争对手；它们的价格、产量、进入和合谋决策都取决于对他人反应的判断。本章训练你把企业竞争写成可求解的博弈模型。

学完本章后，你应当能够：

比较完全竞争、垄断、古诺、伯特兰和斯塔克尔伯格模型的结果。
推导产量竞争和价格竞争中的最优反应与纳什均衡。
分析合谋为什么有利可图、又为什么容易瓦解。
用消费者剩余、生产者剩余和总剩余评价市场势力的福利影响。

常见题目会给出线性需求和常数边际成本，要求你分别求竞争、垄断、古诺和斯塔克尔伯格产量，再比较利润和福利。不要把不同模型的决策时序混在一起：同时行动和先后行动会改变均衡。

本章承接第 5 章的静态与动态博弈，向后引出第 7 章的信息不对称问题：现实中的企业竞争不仅有策略互动，还常常伴随私人信息和激励约束。

经济动机 (Economic Motivation)

在完全竞争和完全垄断这两个极端之间，存在着更为普遍的市场结构——寡头垄断，即市场上只有少数几家公司进行竞争。在寡头市场中，每家公司的决策（如定价、产量）都会显著影响其竞争对手的利润，反之亦然。理解寡头之间的策略互动是理解现代市场经济的关键。

现实例子:

航空业：波音 vs. 空客
手机操作系统：iOS vs. Android
软饮料：可口可乐 vs. 百事可乐
电信运营商：中国移动、联通、电信
石油输出国组织 (OPEC)

核心问题:

寡头企业如何决定产量或价格？
市场结果如何？（价格、产量、利润）
与完全竞争和垄断相比的福利影响？
企业能否维持合谋？
如何阻止新企业进入？

1. 市场结构的比较

1.1 四种市场结构

市场结构	企业数量	产品	进入壁垒	价格决定	例子
完全竞争	很多	同质	无	价格接受者	农产品
垄断竞争	很多	差异化	低	有限价格制定权	餐饮
寡头垄断	少数	同质或差异化	高	策略性定价	汽车
垄断	一家	唯一	极高	价格制定者	公用事业

1.2 寡头市场的特征

策略互动: 每个企业的最优决策取决于对手的行动

如果对手增产，我应该如何反应？
如果对手降价，我是否跟进？

相互依赖: 企业之间存在博弈关系

我的利润 = $f$ (我的行动，对手的行动)
需要考虑对手的最优反应

市场力量: 企业可以影响市场价格（与完全竞争不同）

2. 古诺模型 (Cournot Model, 1838)

2.1 模型假设

两家企业（双寡头），企业1和企业2
同质产品：消费者不区分
同时选择产量: $q_1$ 和 $q_2$
市场反需求函数: $P(Q) = a - bQ$ ，其中 $Q = q_1 + q_2$
成本函数: $C_i(q_i) = c \cdot q_i$ （常数边际成本 $c$ ）
目标: 各自利润最大化

2.2 利润函数

企业 $i$ 的利润：

\pi_i(q_1, q_2) = P(q_1 + q_2) \cdot q_i - c \cdot q_i

= (a - b(q_1 + q_2)) \cdot q_i - c \cdot q_i

= (a - bq_1 - bq_2 - c) \cdot q_i

2.3 最优反应函数

企业1的优化问题：

\max_{q_1} \pi_1(q_1, q_2) = (a - bq_1 - bq_2 - c) q_1

一阶条件：

\frac{\partial \pi_1}{\partial q_1} = a - 2bq_1 - bq_2 - c = 0

解出企业1的最优反应函数 (Best Response Function):

q_1^*(q_2) = \frac{a - c - bq_2}{2b} = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_2}{2}

对称地，企业2的最优反应函数：

q_2^*(q_1) = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_1}{2}

性质:

反应函数向下倾斜：对手产量越高，自己最优产量越低
这反映了策略替代 (Strategic Substitutes)：产量是替代品

2.4 古诺-纳什均衡

古诺均衡是纳什均衡：两条反应函数的交点。

联立求解：

\begin{cases} q_1 = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_2}{2} \\ q_2 = \frac{a-c}{2b} - \frac{q_1}{2} \end{cases}

由对称性， $q_1^* = q_2^* = q^*$ ：

q^* = \frac{a-c}{2b} - \frac{q^*}{2}

\frac{3q^*}{2} = \frac{a-c}{2b}

q^* = \frac{a-c}{3b}

古诺均衡:

每家企业产量: $q^{C} = \frac{a-c}{3b}$
总产量: $Q^{C} = \frac{2(a-c)}{3b}$
市场价格: $P^{C} = a - b \cdot \frac{2(a-c)}{3b} = \frac{a+2c}{3}$
每家利润: $\pi^{C} = (P^{C} - c) q^{C} = \frac{(a-c)^2}{9b}$

2.5 与其他市场结构的比较

完全竞争: $P = c$ ， $Q^{PC} = \frac{a-c}{b}$

垄断: $\max (a - bQ)Q - cQ$ ，得 $Q^{M} = \frac{a-c}{2b}$ ， $P^{M} = \frac{a+c}{2}$

比较:

Q^{M} = \frac{a-c}{2b} < Q^{C} = \frac{2(a-c)}{3b} < Q^{PC} = \frac{a-c}{b}

P^{M} = \frac{a+c}{2} > P^{C} = \frac{a+2c}{3} > P^{PC} = c

洞见:

寡头产量介于垄断和完全竞争之间
随着企业数量 $n$ 增加，寡头产量接近完全竞争

$n$ 家企业的古诺均衡:

q^{C}_i = \frac{a-c}{(n+1)b}, \quad Q^{C} = \frac{n(a-c)}{(n+1)b}

当 $n \to \infty$ 时， $Q^{C} \to \frac{a-c}{b} = Q^{PC}$

2.6 完整例题

题目: 市场反需求 $P = 100 - Q$ ，两家企业边际成本均为 $MC = 10$ 。求古诺均衡。

解答:

企业1利润：

\pi_1 = (100 - q_1 - q_2)q_1 - 10q_1

一阶条件：

100 - 2q_1 - q_2 - 10 = 0

q_1^*(q_2) = 45 - \frac{q_2}{2}

对称地： $q_2^*(q_1) = 45 - \frac{q_1}{2}$

古诺均衡：

q_1 = 45 - \frac{q_1}{2} \implies q_1^* = 30

结果:

每家产量: 30
总产量: 60
价格: $P = 100 - 60 = 40$
每家利润: $(40-10) \times 30 = 900$

比较:

完全竞争: $Q = 90$ , $P = 10$ , $\pi = 0$
垄断: $Q = 45$ , $P = 55$ , $\pi = 2025$
合谋（垄断产量平分）: 每家 $q = 22.5$ , $\pi = 1012.5$

注意：如果两家企业合谋，每家可获利1012.5 > 900，但这不是纳什均衡（有背叛动机）。

3. 伯特兰模型 (Bertrand Model, 1883)

3.1 模型假设

与古诺模型的唯一区别：企业同时选择价格而非产量。

需求函数（价格竞争下）:

q_i(p_1, p_2) = \begin{cases} D(p_i) & \text{如果 } p_i < p_j \\ \frac{D(p_i)}{2} & \text{如果 } p_i = p_j \\ 0 & \text{如果 } p_i > p_j \end{cases}

其中 $D(p) = a - bp$ 是市场需求。

直觉: 消费者总是购买最便宜的产品（完全同质）。

3.2 伯特兰悖论

定理: 在伯特兰模型中，唯一纳什均衡是两家企业都定价等于边际成本： $p_1^* = p_2^* = c$ 。

证明（反证法）:

假设存在均衡 $p_1^* = p_2^* = p > c$ ：

企业1可以微降价至 $p - \epsilon$ （ $\epsilon$ 很小）
抢走全部市场，利润从 $\frac{(p-c)D(p)}{2}$ 增至约 $(p-c)D(p)$
有偏离动机，矛盾

假设 $p_1^* > p_2^* > c$ ：

企业1利润为0（无需求）
可以降价至略低于 $p_2^*$ ，获得正利润
有偏离动机，矛盾

唯一稳定的是 $p_1^* = p_2^* = c$ 。

伯特兰悖论: 即使只有两家企业，价格竞争导致完全竞争结果（零利润）！

3.3 为什么现实中未观察到伯特兰悖论？

产品差异化: 产品不完全同质，消费者对价格不敏感
产能约束: 企业无法立即满足全部市场需求
动态竞争: 价格战会引发报复，重复博弈支撑高价
搜寻成本: 消费者寻找最低价需要成本
数量竞争更现实: 许多行业企业先决定产能再调价

3.4 产品差异化的伯特兰模型

假设需求函数：

q_1 = a - bp_1 + dp_2

q_2 = a - bp_2 + dp_1

其中 $d > 0$ 表示产品的替代程度（ $d$ 越大越接近完全替代）。

企业1的利润：

\pi_1 = (p_1 - c)(a - bp_1 + dp_2)

一阶条件：

a - 2bp_1 + dp_2 + bc = 0

p_1^*(p_2) = \frac{a + bc + dp_2}{2b}

对称均衡：

p^* = \frac{a + bc}{2b - d}

性质:

当 $d \to 0$ （产品独立）， $p^* \to \frac{a}{2b} + \frac{c}{2}$ （垄断价格）
当 $d \to b$ （完全替代）， $p^* \to c$ （边际成本，伯特兰悖论）

4. 斯塔克尔伯格模型 (Stackelberg Model, 1934)

4.1 模型设定

关键差异: 企业序贯选择产量（动态博弈），而非同时。

时间线:

领导者（企业1）首先选择产量 $q_1$
跟随者（企业2）观察到 $q_1$ 后选择 $q_2$
市场价格由总产量决定

4.2 逆向归纳求解

第二阶段: 跟随者的决策

给定 $q_1$ ，企业2最大化：

\max_{q_2} \pi_2 = (a - b(q_1 + q_2) - c)q_2

一阶条件：

a - bq_1 - 2bq_2 - c = 0

企业2的反应函数（与古诺模型相同）：

q_2(q_1) = \frac{a - c - bq_1}{2b}

第一阶段: 领导者的决策

企业1预见到企业2的反应，最大化：

\max_{q_1} \pi_1 = (a - b(q_1 + q_2(q_1)) - c)q_1

代入 $q_2(q_1)$ ：

\pi_1 = \left(a - bq_1 - b\left(\frac{a-c-bq_1}{2b}\right) - c\right)q_1

= \left(\frac{a - c - bq_1}{2}\right)q_1

一阶条件：

\frac{a - c - 2bq_1}{2} = 0

q_1^{S} = \frac{a-c}{2b}

代入反应函数：

q_2^{S} = \frac{a - c - b \cdot \frac{a-c}{2b}}{2b} = \frac{a-c}{4b}

4.3 斯塔克尔伯格均衡

均衡产量:

领导者: $q_1^{S} = \frac{a-c}{2b}$
跟随者: $q_2^{S} = \frac{a-c}{4b}$
总产量: $Q^{S} = \frac{3(a-c)}{4b}$

市场价格: $P^{S} = a - b \cdot \frac{3(a-c)}{4b} = \frac{a + 3c}{4}$

利润:

领导者: $\pi_1^{S} = \frac{(a-c)^2}{8b}$
跟随者: $\pi_2^{S} = \frac{(a-c)^2}{16b}$

4.4 三种模型的比较

数值例题: $a = 100$ , $c = 10$ , $b = 1$

模型	$q_1$	$q_2$	$Q$	$P$	$\pi_1$	$\pi_2$	总 $\pi$
垄断	45	-	45	55	2025	-	2025
古诺	30	30	60	40	900	900	1800
斯塔克尔伯格	45	22.5	67.5	32.5	1012.5	506.25	1518.75
伯特兰	-	-	90	10	0	0	0
完全竞争	-	-	90	10	0	0	0

洞见:

产量排序: $Q^{伯特兰} = Q^{PC} > Q^{S} > Q^{C} > Q^{M}$
价格排序: $P^{M} > P^{C} > P^{S} > P^{伯特兰} = P^{PC}$
先行者优势: $\pi_1^{S} > \pi_1^{C}$ （领导者获益）
后行者劣势: $\pi_2^{S} < \pi_2^{C}$ （跟随者受损）
产量vs价格竞争: 古诺比伯特兰对企业更有利

5. 卡特尔与合谋

5.1 合谋的动机

如果两家古诺企业合谋，共同行动如单一垄断者：

最大化联合利润：

\max_{q_1, q_2} (a - b(q_1+q_2) - c)(q_1 + q_2)

这等价于垄断问题，总产量 $Q^{M} = \frac{a-c}{2b}$ 。

如果平分产量：每家 $q = \frac{a-c}{4b}$ ，利润 $\pi = \frac{(a-c)^2}{8b}$ 。

比较（上例）: 合谋利润1012.5 > 古诺利润900

问题: 合谋是纳什均衡吗？

5.2 卡特尔的不稳定性

给定对方遵守协议生产 $\frac{a-c}{4b}$ ，某企业的最优反应是：

q^* = \frac{a-c}{2b} - \frac{1}{2} \cdot \frac{a-c}{4b} = \frac{3(a-c)}{8b}

背叛利润:

\pi^{deviate} = \left(a - b\left(\frac{3(a-c)}{8b} + \frac{a-c}{4b}\right) - c\right) \cdot \frac{3(a-c)}{8b}

= \frac{5(a-c)}{8} \cdot \frac{3(a-c)}{8b} = \frac{15(a-c)^2}{64b}

数值（上例）: 背叛利润1054.7 > 合谋利润1012.5

结论: 每家企业都有动机背叛（增产），合谋不是纳什均衡！

这就是经典的囚徒困境在寡头市场的体现。

5.3 维持卡特尔的机制

无限重复博弈: 如果企业无限期互动，可以用惩罚策略支撑合谋。

冷酷触发策略:

开始合作（生产垄断产量的一半）
只要历史上都合作，继续合作
一旦观察到背叛，永远回到古诺均衡

不背叛条件（折现因子 $\delta$ ）:

\frac{\pi^{collusion}}{1-\delta} \ge \pi^{deviate} + \frac{\delta \cdot \pi^{Cournot}}{1-\delta}

整理得：

\delta \ge \frac{\pi^{deviate} - \pi^{collusion}}{\pi^{deviate} - \pi^{Cournot}}

上例数值:

\delta \ge \frac{1054.7 - 1012.5}{1054.7 - 900} = \frac{42.2}{154.7} \approx 0.27

解释: 只要 $\delta \ge 0.27$ （未来足够重要），合谋可以维持！

现实中促进合谋的因素:

市场集中度高（企业少）
进入壁垒高
需求和成本稳定（易监测背叛）
频繁互动（ $\delta$ 高）
多市场接触（在多个市场竞争，惩罚更有效）

6. 进入阻止 (Entry Deterrence)

6.1 基本模型

情境: 在位企业（I）已在市场，潜在进入者（E）考虑是否进入。

时间线:

进入者决定：进入或不进入（沉没成本 $F$ ）
如果进入，两家企业古诺竞争

支付（上例参数）:

不进入: $\pi_I = 2025$ （垄断）， $\pi_E = 0$
进入: $\pi_I = 900$ （古诺）， $\pi_E = 900 - F$

子博弈精炼均衡:

如果 $F < 900$ ：进入者进入
如果 $F > 900$ ：进入者不进入

6.2 策略性进入阻止

问题: 在位企业能否通过某种行动阻止进入？

限制性定价 (Limit Pricing): 在位企业在进入前设定低价，让进入者认为进入无利可图。

产能投资: 承诺高产能，进入后会大量生产，压低价格。

产品扩散: 占据所有细分市场，不留空间给进入者。

6.3 承诺的可信性

关键问题: 威胁必须可信（子博弈精炼）。

不可信威胁的例子: "如果你进入，我会发动价格战"

但进入后，价格战对双方都不利。如果无法事先承诺，威胁不可信。

可信承诺需要:

沉没成本（如产能投资）
改变进入后博弈的支付结构
让高产量/低价成为最优反应

7. 福利分析

7.1 消费者剩余

消费者剩余: $CS = \frac{1}{2}(a - P)Q$ （线性需求下）

各模型的CS（上例）:

模型	$P$	$Q$	$CS$
垄断	55	45	1012.5
古诺	40	60	1800
斯塔克尔伯格	32.5	67.5	2278.1
完全竞争	10	90	4050

7.2 总剩余

总剩余 $= CS + \sum \pi$ （效率指标）

模型	$CS$	生产者剩余	总剩余	无谓损失
垄断	1012.5	2025	3037.5	1012.5
古诺	1800	1800	3600	450
斯塔克尔伯格	2278.1	1518.75	3796.85	253.15
完全竞争	4050	0	4050	0

洞见:

寡头造成效率损失，但小于垄断
产量竞争比价格竞争对消费者更不利
企业更偏好产量竞争（利润更高）

8. 应用案例

8.1 OPEC（石油输出国组织）

特征: 典型的卡特尔

挑战:

成员众多（协调困难）
沙特占主导（不对称）
非成员国（俄罗斯、美国页岩油）
需求弹性变化

历史: 20世纪70年代成功控制价格，但80年代以来屡次崩溃

8.2 航空业的产能竞争

航空公司主要竞争航线和班次（产能），价格相对灵活。

更接近古诺模型而非伯特兰。

8.3 电信业的价格战

中国电信市场曾经历激烈价格战，但最终趋于稳定。

解释:

重复博弈支撑隐性合谋
监管机构约束
产品差异化增加

9. 文献与拓展

经典论文:

Cournot, A. (1838). Recherches sur les Principes Mathématiques de la Théorie des Richesses
Bertrand, J. (1883). "Review of Cournot's Recherches"
Stackelberg, H. von (1934). Marktform und Gleichgewicht
Stigler, G. (1964). "A Theory of Oligopoly"

现代教材:

Tirole, J. (1988). The Theory of Industrial Organization
Cabral, L. (2000). Introduction to Industrial Organization
Pepall, Richards & Norman (2008). Industrial Organization

10. 本章小结

模型	竞争变量	时机	产量	价格	利润
古诺	产量	同时	中	中	中
伯特兰	价格	同时	高	低	低
斯塔克尔伯格	产量	序贯	中高	中低	不对称

关键洞见: ✅ 竞争变量（产量vs价格）显著影响市场结果
✅ 先动优势存在于产量竞争中
✅ 合谋可提高利润但不稳定（囚徒困境）
✅ 重复互动可维持隐性合谋
✅ 进入威胁影响在位企业行为
✅ 寡头福利介于垄断和完全竞争之间

反垄断政策含义:

监测合谋行为（价格固定、市场划分）
评估并购对竞争的影响
关注进入壁垒
促进产能灵活性和价格竞争

自学检查

核心直觉回看：寡头市场的关键不是“企业数量少”这件事本身，而是每家企业都知道自己的决策会改变竞争对手的最优选择。竞争变量、行动顺序和产品差异化会显著改变均衡结果。

关键模型提醒：线性逆需求 $P=a-Q$ 、常数边际成本 $c$ 的双头古诺模型中，企业 $i$ 的反应函数是

q_i=\frac{a-c-q_j}{2}.

伯特兰同质产品模型在强假设下得到 $p=c$ ；斯塔克尔伯格模型则用逆向归纳求领导者产量。

常见误区

认为伯特兰结果总是现实预测。伯特兰悖论依赖同质产品、无限产能、同时定价等强假设。
把合谋看成稳定结果。一次博弈中偏离诱惑很强，重复互动和惩罚机制才可能维持合谋。
混淆古诺和斯塔克尔伯格：前者同时选择产量，后者有先后顺序。
只比较企业利润，不比较消费者剩余和总剩余。

自测题

在线性古诺双头模型中，为什么每家企业的最优产量随对手产量上升而下降？
伯特兰悖论为什么会得到价格等于边际成本？
斯塔克尔伯格领导者的先动优势来自哪里？
合谋为什么类似囚徒困境？重复博弈如何改变结论？
反垄断分析中，进入壁垒会如何影响价格和福利？

下一步学习提示

寡头模型默认企业知道需求、成本和对手类型。下一章会放松这个假设：当质量、风险或努力不可观察时，市场结果会出现新的扭曲。

下一章预告: 到目前为止，我们假设所有参与者拥有相同的信息。但现实中，信息不对称无处不在——卖家比买家更了解产品质量，员工比老板更清楚自己的努力程度。下一章我们将学习信息经济学，探讨逆向选择、道德风险、信号传递和筛选等核心概念。

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