第 4 讲：一般均衡与福利经济学

本章导学

局部均衡分析把注意力放在单个市场，但很多政策会同时改变多个市场和多个群体的福利。本章把视角拉到整个经济系统：资源如何在不同消费者之间重新配置，价格如何同时清空所有市场，竞争性均衡为什么可能有效率。

学完本章后，你应当能够：

• 用埃奇沃斯盒子描述纯交换经济中的配置、初始禀赋和改进空间。
• 求解简单的瓦尔拉斯均衡，并用瓦尔拉斯法则检查计算结果。
• 解释帕累托效率、契约曲线、核心和竞争性均衡之间的关系。
• 说明福利经济学第一、第二基本定理的含义、前提和局限。

考试通常会要求你在两人两物品模型中求均衡价格、最终配置和帕累托有效条件。不要只算出价格比，还要说明为什么市场清算、个体最优和资源约束同时成立。

本章把第 1 章和第 2 章的个体最优与福利测度推广到全经济层面；之后的外部性、公共物品和市场设计都会反复回到“竞争性均衡何时失效”这个问题。

经济动机 (Economic Motivation)

在现实世界中，各个市场是相互关联的。一个市场的价格变化会影响到其他市场。例如，石油价格的上涨不仅影响汽油价格，还会影响航空、运输和塑料制造业的成本和产出。一般均衡理论试图建立一个"全局"模型，同时分析经济中所有市场的供求和价格，理解整个经济体系如何达到平衡。

局部均衡 vs. 一般均衡:

• 局部均衡 (马歇尔): 研究单个市场，假定其他市场价格不变
• 一般均衡 (瓦尔拉斯): 同时分析所有市场，考虑相互影响

一般均衡理论回答的核心问题：

1. 竞争性均衡是否存在？
2. 如果存在，是否唯一？
3. 均衡是否稳定？
4. 均衡是否有效率（帕累托最优）？
5. 任何帕累托最优配置都能通过市场实现吗？

1. 纯交换经济的一般均衡

1.1 基本设定

经济环境:

• 两个消费者: $A$和$B$
• 两种商品: 商品1和商品2
• 初始禀赋: $\omega^A = (\omega_1^A, \omega_2^A)$和$\omega^B = (\omega_1^B, \omega_2^B)$
• 效用函数: $u^A(x_1^A, x_2^A)$和$u^B(x_1^B, x_2^B)$

总资源约束:

1.2 埃奇沃斯盒子 (Edgeworth Box)

埃奇沃斯盒子是一个巧妙的图形工具，用于可视化两个人、两种商品的纯交换经济。

构造方法:

1. 画一个长方形，宽度为$\bar{x}_1$，高度为$\bar{x}_2$
2. 左下角是$A$的原点，右上角是$B$的原点（倒置）
3. 盒子内任一点$(x_1^A, x_2^A)$同时代表：
   • $A$的消费束: 从左下角测量
   • $B$的消费束: $(x_1^B, x_2^B) = (\bar{x}_1 - x_1^A, \bar{x}_2 - x_2^A)$，从右上角测量

初始禀赋点$\omega$: 盒子内标记初始资源配置的点

无差异曲线:

• $A$的无差异曲线从左下角向右上凸
• $B$的无差异曲线从右上角向左下凸

1.3 帕累托改进与帕累托效率

帕累托改进 (Pareto Improvement): 一种资源重新配置，使得至少一个人变得更好，而没有人变得更坏。

帕累托效率/最优 (Pareto Efficiency/Optimality): 一种资源配置，不存在帕累托改进的可能性。

在埃奇沃斯盒子中的刻画:

配置$(x^A, x^B)$是帕累托有效的 ⟺ 两个消费者的无差异曲线相切（或边界解）

数学条件 (内部解):

即：

直觉: 如果两人的MRS不相等，则存在互利的交易机会。假设$A$愿意用2单位商品2换1单位商品1，而$B$愿意用1单位商品2换1单位商品1，那么他们可以达成交易使双方都受益。

1.4 契约曲线 (Contract Curve)

定义: 埃奇沃斯盒子中所有帕累托有效配置的集合。

性质:

1. 连接两个原点的轨迹
2. 在每一点，两个消费者的无差异曲线相切
3. 代表了所有"无法再改进"的配置

求解方法: 解下列方程组

对不同的效用水平，可以追踪出整条契约曲线。

1.5 核心 (Core)

定义: 在初始禀赋$\omega$出发，通过自愿交换可以达到的帕累托有效配置的集合。

数学表达: 核心是契约曲线上使得两个消费者效用都不低于初始禀赋效用的部分：

在埃奇沃斯盒子中: 核心是契约曲线上位于两个通过禀赋点的无差异曲线"透镜形"区域内的部分。

2. 竞争性均衡 (Walrasian Equilibrium)

2.1 定义

竞争性均衡由价格向量$p^* = (p_1^*, p_2^*)$和配置$(x^{A*}, x^{B*})$组成，满足：

1. 消费者最优化: 每个消费者在给定价格下，在其预算集内最大化效用$$\begin{align*} x^{A*} &\in \arg\max u^A(x^A) \quad \text{s.t.} \quad p^* \cdot x^A \le p^* \cdot \omega^A \\ x^{B*} &\in \arg\max u^B(x^B) \quad \text{s.t.} \quad p^* \cdot x^B \le p^* \cdot \omega^B \end{align*}$$
2. 市场出清: 所有市场供给等于需求$$x_i^{A*} + x_i^{B*} = \omega_i^A + \omega_i^B, \quad i=1,2$$

关键洞见: 在均衡中，价格起到了"协调"作用 —— 每个人只根据价格做决策，无需知道他人的偏好或禀赋，最终却实现了资源的有效配置。

2.2 瓦尔拉斯法则 (Walras' Law)

对于任何价格$p$，如果所有消费者都花光预算：

将两式相加：

含义: 如果$n-1$个市场出清，则第$n$个市场自动出清。

证明:

如果市场1出清（第一项为0），则市场2必然出清（第二项为0）。

应用: 在求解均衡时，可以将一种商品的价格标准化（如设$p_2 = 1$），只需求解相对价格。

2.3 求解竞争性均衡的步骤

例题: $u^A(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$，$u^B(x_1, x_2) = x_1^{0.3} x_2^{0.7}$，$\omega^A = (4, 4)$，$\omega^B = (2, 2)$。

步骤1: 标准化价格，设$p_2 = 1$，$p_1 = p$。

步骤2: 求每个消费者的马歇尔需求

消费者$A$:

• 收入: $m^A = p \cdot 4 + 1 \cdot 4 = 4p + 4$
• 柯布-道格拉斯需求: $$x_1^A(p) = \frac{0.5(4p+4)}{p} = \frac{2p+2}{p}, \quad x_2^A(p) = 0.5(4p+4) = 2p+2$$

消费者$B$:

• 收入: $m^B = 2p + 2$
• 需求: $$x_1^B(p) = \frac{0.3(2p+2)}{p} = \frac{0.6p+0.6}{p}, \quad x_2^B(p) = 0.7(2p+2) = 1.4p+1.4$$

步骤3: 市场出清条件

商品1市场:

步骤4: 计算均衡配置

2.4 均衡的存在性

布劳威尔不动点定理 (Brouwer Fixed Point Theorem): 如果$f: S \to S$是连续函数，$S$是紧致凸集，则$f$至少有一个不动点，即存在$x^* \in S$使得$f(x^*) = x^*$。

应用于一般均衡: 定义超额需求函数$z(p) = x^A(p) + x^B(p) - \omega$。竞争性均衡就是$z(p^*) = 0$的解。

阿罗-德布鲁定理 (Arrow-Debreu, 1954): 在以下条件下，竞争性均衡存在：

1. 偏好连续、单调、凸
2. 禀赋严格为正
3. 商品和消费者数量有限

证明思路: 构造价格-配置映射，应用Kakutani不动点定理。

2.5 均衡的唯一性与稳定性

唯一性: 一般均衡可能不唯一（取决于效用函数的具体形式）。

例子: 如果偏好是齐次的（如柯布-道格拉斯），且禀赋相同，均衡通常唯一。但如果偏好呈现"收入效应很强"的特征，可能存在多重均衡。

稳定性:

• Walrasian tâtonnement (瓦尔拉斯试探过程): 假设存在一个"拍卖师"根据超额需求调整价格：$$\frac{dp_i}{dt} = \lambda_i z_i(p), \quad \lambda_i > 0$$
  如果超额需求为正（$z_i > 0$），价格上涨；反之下降。

稳定性条件:

• 总替代性 (Gross Substitutes): 如果所有商品都是总替代品（某商品价格上涨，其他商品需求增加），则均衡唯一且全局稳定。
• 弱公理 (Weak Axiom of Revealed Preference): 在总需求层面满足显示偏好公理，则均衡稳定。

3. 福利经济学基本定理

3.1 第一福利定理 (First Fundamental Theorem of Welfare Economics)

定理: 在完全竞争条件下，任何竞争性均衡都是帕累托有效的。

前提条件:

1. 完全竞争（价格接受者）
2. 无外部性
3. 完全信息
4. 凸偏好
5. 局部非饱和性

证明 (反证法):

假设均衡配置$(x^{A*}, x^{B*})$不是帕累托有效的，即存在另一配置$(x^A, x^B)$满足资源约束，且至少一人更好，无人更坏：

至少一个不等号严格成立。

由于$x^{A*}$是$A$在价格$p^*$下的最优选择：

类似地：

将两式相加：

但资源约束要求$x^A + x^B = \omega^A + \omega^B$，矛盾！

经济学直觉: "看不见的手" —— 追求私利的个体在竞争市场中，通过价格机制，无意中实现了社会福利的最大化。

3.2 第二福利定理 (Second Fundamental Theorem of Welfare Economics)

定理: 任何帕累托有效的配置都可以作为某个竞争性均衡的结果，只要进行适当的初始禀赋再分配。

前提条件:

1. 凸偏好
2. 单调性
3. 连续性

证明思路:

对于任何帕累托有效配置$(x^{A*}, x^{B*})$，两个消费者的无差异曲线相切。在切点处画一条公切线，这条线的斜率定义了支撑价格$p^*$。

如果将初始禀赋重新分配为$\tilde{\omega}^A$和$\tilde{\omega}^B$，使得：

那么$(x^{A*}, x^{B*})$就是从新禀赋$(\tilde{\omega}^A, \tilde{\omega}^B)$出发的竞争性均衡配置。

几何直观: 在埃奇沃斯盒子中，契约曲线上的任何一点都可以通过适当调整初始禀赋点的位置，作为竞争性均衡实现。

政策含义:

• 效率和公平可以分离处理
• 政府可以通过一次性总付转移（lump-sum transfer）调整初始分配，然后让市场实现有效配置
• 但现实中一次性转移难以实现（信息问题、激励扭曲）

3.3 福利定理的局限性

第一和第二福利定理的前提条件在现实中常常被违反：

1. 市场力量: 垄断、寡头导致价格高于边际成本
2. 外部性: 污染等未被市场价格反映
3. 公共物品: 国防、路灯的非排他性
4. 信息不对称: 逆向选择、道德风险
5. 规模报酬递增: 导致自然垄断
6. 不完全市场: 某些风险无法投保

这些市场失灵为政府干预提供了理论依据。

4. 社会福利函数

4.1 定义

社会福利函数 (Social Welfare Function, SWF): 将个体效用汇总为社会总福利的函数：

常见形式:

1. 功利主义 (Utilitarian / Bentham):$$W = \sum_{i} u^i$$
   最大化总效用之和。
2. 罗尔斯主义 (Rawlsian / Maximin):$$W = \min\{u^A, u^B, \ldots\}$$
   最大化最不幸者的效用（"正义论"）。
3. 纳什 (Nash):$$W = \prod_{i} u^i$$
   几何平均（用于讨价还价理论）。
4. 一般CES形式:$$W = \left(\sum_{i} (u^i)^\rho\right)^{1/\rho}$$
   $\rho \to -\infty$时趋向Rawlsian，$\rho = 1$时为功利主义。

4.2 社会无差异曲线

在两人情况下，$W(u^A, u^B) = \bar{W}$定义了效用空间中的社会无差异曲线。

功利主义: 直线，斜率为-1（$A$和$B$的效用完全可替代） Rawlsian: L型（只关心较差的一方）

4.3 帕累托前沿与最优配置

帕累托前沿 (Pareto Frontier): 效用可能性边界，即所有帕累托有效配置对应的效用组合。

社会最优配置: 社会无差异曲线与帕累托前沿的切点。

权衡: 不同的社会福利函数反映了不同的效率-公平权衡：

• 功利主义可能牺牲少数人利益以获得总福利最大
• Rawlsian优先照顾最弱势群体，但可能牺牲总体效率

5. 生产经济的一般均衡

5.1 基本设定

加入生产者：

• 生产函数: $F(L, K)$
• 要素禀赋: 劳动$\bar{L}$，资本$\bar{K}$
• 消费者同时是要素供给者

市场:

• 商品市场（最终产品）
• 要素市场（劳动、资本）

5.2 生产可能性边界 (PPF)

对于两种商品$y_1, y_2$，给定总要素：

形状: 通常凹向原点（机会成本递增）

边际转换率 (MRT): PPF的斜率绝对值

5.3 生产效率条件

技术效率: 两个部门的边际技术替代率相等

配置效率: 消费者的MRS等于生产的MRT

直觉: 社会愿意用商品1换商品2的比率，应该等于生产上能够转换的比率。

6. 完整例题

例题: 埃奇沃斯盒子与竞争性均衡

题目: 两个消费者，$u^A = \min\{x_1, x_2\}$（完全互补），$u^B = x_1 + x_2$（完全替代），$\omega^A = (3, 1)$，$\omega^B = (1, 3)$。求：

1. 契约曲线
2. 核心
3. 竞争性均衡

解答:

(1) 契约曲线

$A$的完全互补：最优点满足$x_1^A = x_2^A$

$B$的完全替代：无差异曲线是直线，斜率为-1

帕累托有效要求资源不能浪费。由于$A$总是在45度线上消费，契约曲线为：

(2) 核心

$A$的初始效用: $u^A(\omega^A) = \min\{3, 1\} = 1$$B$的初始效用: $u^B(\omega^B) = 1 + 3 = 4$

核心要求: $x_1^A = x_2^A \ge 1$且$x_1^B + x_2^B = 8 - 2x_1^A \ge 4$

解得: $1 \le x_1^A \le 2$

核心: $\{(x_1^A, x_2^A) : x_1^A = x_2^A, 1 \le x_1^A \le 2\}$

(3) 竞争性均衡

设$p_1 = p$，$p_2 = 1$。

$A$的需求（完全互补）: $x_1^A = x_2^A = \frac{3p+1}{p+1}$

$B$的需求（完全替代）:

• 如果$p > 1$: 只买商品2，$x_1^B = 0, x_2^B = p+3$
• 如果$p < 1$: 只买商品1，$x_1^B = (p+3)/p, x_2^B = 0$
• 如果$p = 1$: 无差异，任何组合都可以

市场出清需要内部解，尝试$p = 1$:

• $A$: $x_1^A = x_2^A = \frac{3+1}{1+1} = 2$
• $B$: $x_1^B = 4-2 = 2, x_2^B = 4-2 = 2$

验证：$B$的效用$2+2 = 4 = 1+3$，满足预算约束。

均衡: $p^* = 1$，$(x^{A*}, x^{B*}) = ((2,2), (2,2))$

7. 应用案例

7.1 国际贸易与比较优势

里卡多模型: 即使一国在所有商品生产上都处于绝对劣势，只要相对成本（MRT）不同，贸易就能使双方受益。

一般均衡框架证明了比较优势原理：自由贸易导致的均衡是帕累托改进。

7.2 税收的一般均衡效应

局部均衡: 对商品$X$征税，$X$的价格上涨，需求下降 一般均衡:

• $X$的生产减少，释放劳动和资本
• 这些要素流向其他行业
• 其他商品价格和产量变化
• 实际工资和资本回报率调整

洞见: 税收归宿取决于整个经济的要素流动性和替代弹性，而非仅仅税收直接施加的市场。

8. 文献与拓展

经典论文:

• Walras, L. (1874). Éléments d'économie politique pure
• Arrow, K. & Debreu, G. (1954). "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy"
• Debreu, G. (1959). Theory of Value

现代教材:

• Mas-Colell et al. (1995), Chapters 15-16
• Varian (1992), Chapters 17-18
• Jehle & Reny (2011), Chapter 5

9. 本章小结

关键洞见: ✅ 竞争市场能够实现资源的有效配置（第一福利定理）
✅ 任何社会认为理想的配置都可以通过市场+再分配实现（第二福利定理）
✅ 现实中市场失灵普遍存在，需要政策干预
✅ 埃奇沃斯盒子提供了理解多人互动的强大工具

自学检查

核心直觉回看：一般均衡把“一个人的最优”连接成“所有市场同时出清”。价格不只是某个市场的信号，而是协调整个经济中资源稀缺性的系统信号。

关键模型提醒：竞争性均衡要求两件事同时成立：每个消费者在预算集内最优，每个市场的总需求等于总禀赋。埃奇沃斯盒子里的帕累托效率条件通常写成

即两个人对两种商品的边际替代率相等。

常见误区

• 把第一福利定理理解成“市场结果总是公平”。它只说明在严格条件下竞争均衡有效率，不处理分配正义。
• 忽略第二福利定理的凸性、完全市场和一次性再分配假设。
• 只看单个市场的税收影响，却忘记要素和商品会在其他市场重新配置。
• 认为帕累托有效就是唯一最优。帕累托有效配置通常有很多个，分配含义不同。

自测题

1. 在埃奇沃斯盒子中，为什么两个人的无差异曲线相切是帕累托效率条件？
2. 什么是瓦尔拉斯法则？它为什么能减少需要独立检查的市场出清方程数量？
3. 第一福利定理需要哪些关键假设？举一个违反假设的现实例子。
4. 第二福利定理为什么把效率问题和分配问题分开？
5. 对某商品征税时，一般均衡分析比局部均衡多考虑哪些渠道？

下一步学习提示

如果你能说清楚“价格接受者”为什么不会考虑自身行为对价格的影响，就已经准备好进入博弈论了。下一章会放松这个假设，让每个参与者都开始考虑别人的反应。

下一章预告: 到目前为止，我们假设所有经济主体都是价格接受者。但现实中，许多市场只有少数几个参与者，他们的决策会相互影响。下一章我们将进入博弈论的世界，学习如何分析策略互动情境，这将为理解寡头竞争、拍卖、谈判等现象奠定基础。