计量经济学

第八章：计量经济学浏览器回归实验

用可点击运行的 Python 与 R 单元学习 OLS、遗漏变量偏误、稳健推断、IV、固定效应、聚类标准误与 Bootstrap。

第八章：计量经济学浏览器回归实验

本章用七组数据生成过程把计量经济学的关键概念变成可重复实验。每个问题同时给出 Python 与 R 代码，使用相同的模型和随机种子。你可以直接点击运行，也可以显示代码后修改样本量、信号强度和误差结构。

这里使用合成数据，是为了让“真参数”和内生性来源已知。真实研究没有这个便利：研究者必须借助制度背景、研究设计和稳健性分析论证识别。

学习成果

完成实验后，你应能够：

用正规方程和软件回归得到相同的 OLS 系数；
通过数据生成过程解释遗漏变量偏误的方向；
比较经典标准误与异方差稳健标准误；
手工完成第一阶段和第二阶段，解释 2SLS 的识别来源；
用组内去均值理解固定效应估计；
说明聚类标准误为什么必须匹配处理分配层级；
用 Bootstrap 近似估计量的抽样分布。

实验规范

每次实验按以下顺序记录：

Estimand：想估计哪个总体参数？
DGP：数据怎样生成，哪些变量可观测？
Estimator：软件究竟计算了什么？
Inference：标准误允许怎样的误差相关？
Interpretation：结果是描述、预测还是因果？

Python 单元由站点已有的 Pyodide 插件执行；R 单元由 webR 执行。首次点击会下载运行时，后续单元复用同一页面状态。代码仅使用 Pyodide 可加载包和 base R。

实验一：从正规方程到 OLS

目标

在线性模型

y_i=\beta_0+\beta_1x_i+u_i

中，OLS 选择使残差平方和最小的系数：

\hat\beta=(X'X)^{-1}X'y.

下面用矩阵计算和回归软件计算同一个结果。

Py

Python：手工 OLS 与软件结果

R

R：手工 OLS 与 lm 结果

应当观察到什么

两种实现的系数完全一致，且残差与每一列解释变量样本正交。系数不等于真值 1.5 是抽样误差，不是程序错误。把样本量从 300 改为 30，再多次运行，可以看到估计波动增大。

实验二：遗漏变量偏误可以有方向

数据生成过程

假设能力同时影响教育和工资：

\begin{aligned} education_i &= 12+0.8ability_i+v_i,\\ \log(wage_i) &= 1+0.10education_i+0.50ability_i+e_i. \end{aligned}

教育的结构系数是 0.10。若能力不可观测，短回归把部分能力效应归到教育上。

Py

Python：短回归与完整回归

R

R：短回归与完整回归

偏误方向

在单一遗漏变量情形，偏误近似为：

Bias(\hat\beta_{education}) =\gamma_{ability\to wage} \frac{\operatorname{Cov}(education,ability)} {\operatorname{Var}(education)}.

两个因子都为正，因此短回归向上偏。把能力对教育的系数改为负值，偏误方向会改变。真实数据中能力可能不可观测，加入代理变量也可能有测量误差，因此“控制更多变量”不等于自动恢复因果效应。

实验三：异方差改变推断，不一定改变系数

数据生成过程

令误差标准差随 $|x_i|$ 增大：

u_i=(0.5+1.5|x_i|)\varepsilon_i.

若条件均值仍为零，OLS 系数可以无偏或一致，但经典同方差标准误不再可靠。

Py

Python：经典与 HC1 标准误

R

R：手工计算 HC1 标准误

审计问题

稳健标准误不修复内生性、遗漏变量或错误函数形式。
小样本中 HC0、HC1、HC2、HC3 可能差异明显。
若误差在群组或时间上相关，仅做异方差稳健仍然不够。

实验四：工具变量与两阶段最小二乘

数据生成过程

令 $z_i$ 影响教育，但不直接影响工资；能力同时影响教育和工资：

\begin{aligned} education_i &= 12+0.9z_i+0.9ability_i+v_i,\\ \log(wage_i) &= 1+0.12education_i+0.7ability_i+e_i. \end{aligned}

在模拟中， $z_i$ 与能力独立，因此相关性与排除限制按设计成立。

Py

Python：OLS、第一阶段与 2SLS

R

R：OLS、第一阶段与 2SLS

为什么要警告标准误

把第一阶段拟合值直接放进普通 OLS 可以得到恰好相同的 2SLS 点估计，但普通第二阶段标准误忽略拟合值的估计误差。正式研究应使用专门 IV 估计器，并报告弱工具诊断、稳健或聚类标准误，以及排除限制的制度论证。

弱工具实验

把第一阶段系数 0.9 改为 0.08，重复运行。你会看到第一阶段 F 值下降，2SLS 估计波动明显增大。显著的第一阶段也不能证明排除限制；它只提供相关性证据。

实验五：固定效应的组内变换

数据生成过程

个体特征 $\alpha_i$ 同时影响解释变量和结果：

\begin{aligned} x_{it} &=0.8\alpha_i+w_{it},\\ y_{it} &=1.5x_{it}+\alpha_i+u_{it}. \end{aligned}

Pooled OLS 遗漏 $\alpha_i$ 。固定效应通过个体内去均值消除时间不变的 $\alpha_i$ ：

y_{it}-\bar y_i =\beta(x_{it}-\bar x_i)+(u_{it}-\bar u_i).

Py

Python：Pooled OLS 与组内估计

R

R：Pooled OLS 与组内估计

固定效应不能做什么

固定效应只消除时间不变、以加法进入模型的个体差异。它不能自动解决时间变化的混淆、反向因果、测量误差或动态面板偏误。若处理几乎不随时间变化，组内估计还可能非常不精确。

实验六：标准误应跟随处理分配层级

数据生成过程

假设政策在学校层面分配，而结果在学生层面观测。同校学生共享学校冲击：

y_{ig}=\beta D_g+a_g+\varepsilon_{ig}.

即使有很多学生，真正独立的处理变异主要来自学校数量。

Py

Python：普通与学校聚类标准误

R

R：手工学校聚类标准误

解释

把学生人数当作独立样本会夸大有效信息量。聚类层级应由处理分配和误差相关机制决定，不能只选择让显著性最好看的层级。群组很少时，常规聚类渐近近似也可能不可靠，需要小样本修正、随机化推断或 wild cluster bootstrap。

实验七：Bootstrap 看见估计量的抽样分布

思想

Pairs Bootstrap 从观测对 $(x_i,y_i)$ 中有放回重抽样，每次重新估计系数。得到的系数分布近似原估计量的抽样分布。

Py

Python：Pairs Bootstrap 回归

R

R：Pairs Bootstrap 回归

Bootstrap 不是万能修复

重抽样单位必须匹配数据结构。时间序列常需要 block bootstrap；聚类数据应按群组重抽样；极端小样本、参数在边界、弱识别或非平滑统计量下，普通 Bootstrap 可能失败。

综合作业

选择一个实验并完成以下审计：

写出 DGP、estimand 和估计量；
用 Python 与 R 得到基准结果；
改变样本量和一个结构参数，重复 200 次；
画出估计量分布或报告偏差、标准差和覆盖率；
指出在真实数据中最危险的识别假设；
说明应使用何种稳健性检查和标准误。

进一步阅读

Wooldridge, Introductory Econometrics：OLS、IV、面板和应用解释；
Hayashi, Econometrics：投影、渐近理论、GMM 与时间序列；
Hansen, Econometrics：现代估计与推断的系统参考；
Angrist and Pischke, Mostly Harmless Econometrics：研究设计与实证直觉；
Cameron and Miller (2015), “A Practitioner’s Guide to Cluster-Robust Inference”。

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