第一章：数据、概率与回归对象

1. 计量问题从“对象”开始

在回归软件中输入变量之前，先说明：研究对象是谁、观察单位是什么、结果变量如何定义、解释变量如何测量，以及你想描述还是想识别因果效应。

例如，“教育影响工资”至少有三种不同问题：

1. 受教育年限与工资的条件相关是什么？
2. 对一个随机选择的个体，额外教育一年的潜在工资变化是什么？
3. 某项教育政策使受影响者的工资改变多少？

三者可能使用相似数据和回归形式，但目标参数与识别条件不同。

学习目标

• 区分总体、样本、参数、统计量和估计量；
• 用条件期望函数描述预测与因果问题；
• 解释抽样误差、测量误差和选择进入数据的差异；
• 理解线性投影不要求真实条件期望函数完全线性；
• 为 OLS 推导准备矩阵和概率语言。

2. 随机变量与数据生成过程

把一个观测写成 $W_i=(Y_i,X_i)$。样本 $(W_1,\ldots,W_n)$ 来自某种数据生成过程。i.i.d. 是常见基准，但面板、时间序列、空间数据和聚类抽样会破坏简单独立性。

数据生成过程不是“软件看不到的误差项”，而是描述数据如何被产生、观测和选择进入样本的理论对象。若样本只包含就业者，工资回归的误差可能同时包含劳动参与选择；若问卷非随机缺失，缺失机制会影响目标参数。

3. 条件期望函数

条件期望函数为：

它是给定 $X$ 时 $Y$ 的最佳平方损失预测器，因为对任意函数 $g(X)$：

线性回归进一步限制预测函数为 $X'\beta$。当真实 CEF 非线性时，OLS 仍然估计总体线性投影系数，而不一定估计某个结构参数。

4. 相关、条件相关与因果

条件相关描述在控制 $X$ 后 $D$ 和 $Y$ 的关系。因果效应要求比较同一单位在不同处理状态下的潜在结果：

个体处理效应为 $Y_i(1)-Y_i(0)$，平均处理效应为 $\mathbb{E}[Y_i(1)-Y_i(0)]$。问题在于同一单位不能同时观察两种状态。回归控制、随机化、工具变量和准实验设计都是构造或逼近反事实的方法，但依赖不同假设。

5. 目标参数表

写实证报告时，把“估计的是什么”放在结果表之前，读者才知道系数应如何解释。

6. 测量与选择

测量误差包括教育年限报告误差、收入顶格报告、价格指数口径变化和行政数据匹配误差。解释变量测量误差在经典条件下可能造成衰减偏误，但现实测量误差未必满足经典条件。

选择问题包括：

• 只有就业者才有观察到的工资；
• 只有申请者才进入政策样本；
• 只有留下来接受追踪的个体有后续结果；
• 变量缺失与结果或处理状态相关。

样本量大不能自动修复选择偏误。大样本会让估计更精确地估计错误的对象。

自测题

1. 为什么条件期望是最佳平方预测器？
2. OLS 估计线性投影系数时，真实 CEF 非线性会产生什么含义？
3. 描述性相关何时可能接近因果效应？需要什么假设？
4. 解释变量测量误差为什么可能使系数向零偏？
5. 选择进入样本与样本量大小有什么不同？

下一章

下一章把线性投影写成矩阵形式，推导 OLS，并使用 FWL 定理解释“控制变量”究竟改变了什么比较。